Часть 3. Вероятностно-статистическое моделирование 

	Сначала в главе 8 введем основные понятия и рассмотрим примеры вероятностно-статистического моделирования в демографии, логистике, истории и электротехнике. Затем разберем модели динамики (временных рядов), предназначенные для оценки результатов взаимовлияний факторов (глава 9), вероятностно-статистические модели управления качеством (глава 10), используемые в медицине (глава 11) и социологии (глава 12). Моделям экспертных исследований посвящена часть 2 данного учебника. Весьма поучительно сопоставить вероятностно-статистические модели, применяемые в различных областях, обнаружить их близость и вместе с тем констатировать некоторые различия. 

Глава 8. Основы вероятностно-статистического моделирования

	После обсуждения основных идей и терминов вероятностно-статистического моделирования обоснована необходимость изучения устойчивости статистических выводов, разработана общая схема устойчивости и предложен принцип уравнивания погрешностей. Далее рассмотрены примеры вероятностно-статистического моделирования в демографии, логистике, истории и электротехнике.

8.1. Основные понятия теории статистического моделирования

	Начнем с определения используемых понятий.
	«Модель в общем смысле (обобщенная модель) есть создаваемый с целью получения и (или) хранения информации специфический объект (в форме мысленного образа, описания знаковыми средствами либо материальной системы), отражающий свойства, характеристики и связи объекта-оригинала произвольной природы, существенные для задачи, решаемой субъектом» [1, с.44]. Модели часто выражаются словами или формулами, алгоритмами и иными математическими средствами.
	Математические модели. При более тщательном анализе явления или процесса только словесных моделей, как правило, не достаточно. Необходимо применение достаточно сложных математических моделей. Так, при принятии решений в менеджменте производственных систем используются:
	- модели технологических процессов (прежде всего модели контроля и управления);
	- модели обеспечения качества продукции (в частности, модели оценки и контроля надежности);
	- модели массового обслуживания;
	- модели управления запасами (модели логистики);
	- имитационные и эконометрические модели деятельности предприятия в целом, и др.
	Прежде чем рассматривать конкретные математические модели, необходимо определить основные термины:
	- компоненты системы - части системы, которые могут быть вычленены из нее и рассмотрены отдельно;
	- независимые переменные – внешние величины, не зависящие от проходящих в системе процессов;
	- зависимые переменные - значения этих переменных есть результат (функция) воздействия на систему независимых внешних переменных;
	- управляемые (управляющие) переменные - те, значения которых могут изменяться (в частности, задаваться) исследователем;
	- эндогенные переменные – их значения определяются в ходе деятельности компонент системы (т.е. «внутри» системы);
	- экзогенные переменные - определяются либо исследователем, либо извне, т.е. в любом случае действуют на систему извне.
	При построении любой математической модели желательно придерживаться следующего плана действий: 
	1) сформулировать цели изучения системы; 
	2) выбрать те факторы, компоненты и переменные, которые являются наиболее существенными для данной задачи; 
	3) учесть тем или иным способом посторонние, не включенные в модель факторы; 
	4) осуществить оценку результатов, проверку модели, оценку полноты модели.
	Модели можно делить на различные виды:
	1) функциональные модели - выражают прямые зависимости между эндогенными и экзогенными переменными;
	2) модели, заданные с помощью систем уравнений относительно эндогенных величин. Выражают балансовые соотношения между различными экономическими показателями (например, модель межотраслевого баланса);
	3) модели оптимизационного типа. Основная часть модели - система уравнений относительно эндогенных переменных. Но цель - найти оптимальное решение для некоторого показателя (например, найти такие величины ставок налогов, чтобы обеспечить максимальный приток средств в бюджет за заданное время);
	4) имитационные модели (подробнее о них – ниже) - достаточно точные отображения явлений и процессов. Математические уравнения при этом могут содержать сложные, нелинейные, стохастические зависимости.
	С другой стороны, модели можно делить на управляемые и прогнозные. Управляемые модели отвечают на вопрос: «Что будет, если ...?»; «Как достичь желаемого?», и содержат три группы переменных: 
	1) переменные, характеризующие текущее состояние объекта; 
	2) управляющие воздействия - переменные, влияющие на изменение этого состояния и поддающиеся целенаправленному выбору; 
	3) исходные данные и внешние воздействия, т.е. параметры, задаваемые извне, и начальные параметры.
	В прогнозных моделях управление не выделено явно. Они отвечают на вопросы: «Что будет, если все останется по-старому?»
	 Далее, модели можно делить по способу измерения времени на непрерывные и дискретные. В любом случае, если в модели присутствует время, то модель называется динамической. Чаще всего в моделях используется дискретное время, т.к. информация поступает дискретно: отчеты, балансы и иные документы приходят периодически. Но с формальной точки зрения непрерывная модель может оказаться более простой для изучения. В физической науке продолжается дискуссия о том, является ли реальное физическое время непрерывным или дискретным.
	Обычно в достаточно крупные социально-экономические модели входят материальный, финансовый и социальный разделы. Материальный раздел - балансы продуктов, производственных мощностей, трудовых, природных ресурсов. Это раздел, описывающий основополагающие процессы, это уровень, обычно слабо подвластный управлению, особенно быстрому, поскольку весьма инерционен.
	Финансовый раздел содержит балансы денежных потоков, правила формирования и использования фондов, правила ценообразования и.т.п. На этом уровне можно выделить много управляемых переменных. Они могут быть регуляторами.
 	Социальный раздел содержит сведения о поведении людей. Этот раздел вносит в модели принятия решений много неопределенностей, поскольку трудно точно и правильно учесть такие факторы как трудоотдача, структура потребления, мотивация и.т.п.
	При построении моделей, использующих дискретное время, часто применяют вероятностно-статистические методы. Среди них популярны регрессионные уравнения и их системы. Обычно используют уравнения не выше второго порядка, линейные по параметрам:

где  - переменная отклика;
	- факторы, от которых зависит ;
	- коэффициенты, которые характеризуют взаимодействие между  и ;
	- отражают взаимодействие между  и;
	- ошибки модели;
	i – номер наблюдения (измерения, опыта, исследования, анализа, испытания), i= 1, 2,   , n;
	j – номер фактора (независимой переменной), j = 1,2,…, k.
	Коэффициенты ,  находят статистическими методами, например, методом наименьших квадратов. Различные системы регрессионных уравнений, построенные для решения практически важных задач, рассмотрены в [2]. Часто используют лаги (запаздывания в реакции). Для систем, нелинейных по параметрам, применение метода наименьших квадратов встречает трудности. 
	Большое количество конкретных математических и статистических моделей принятия решений рассмотрено в [2, 3]. Обратим внимание, что популярные в настоящее время подходы к процессам бизнес-реинжиниринга основаны на активном использовании математико-статистических и информационных моделей. 
	Развитие методов математического моделирования. Эта область научно-практической деятельности получила мощный стимул к развитию во время и сразу после Второй мировой войны в рамках интеллектуального движения, связанного с терминами «кибернетика», «исследование операций», а позже - «системный анализ», «информатика». 
	Впрочем, имелись и вполне практические задачи, например контроль  качества боеприпасов, вышедший на первый план именно в годы второй мировой войны. Модели и методы статистического контроля качества приносят (по западной оценке и по нашему мнению, основанному на опыте СССР и России, в частности, на анализе организационно-экономических результатов работы служб технического контроля на промышленных предприятиях) наибольший экономический эффект среди всех экономико-математических моделей и методов принятия решений. Только дополнительный доход от их применения в промышленности США оценивается [3] как 0,8% валового национального продукта США.
	Для ориентации в практически необозримом море математических моделей экономических явлений и процессов (короче: экономико-математических моделей), необходима их классификация. Первым основанием для классификации служит отношение к практической деятельности. Экономико-математические модели делятся на:
	1) ориентированные на практическое использование (примерами служат модели статистического контроля, с помощью которых принимается решение о приемке или забраковании партии конкретной продукции),
	2) модели, пригодные для теоретических рассуждений, однако в практике их использовать невозможно (примерами служат модели «основного уравнения количественной теории денег» или «спирали ЦЕНЫ - ЗАРПЛАТА» в учебниках макроэкономики).
	Экономико-математическое моделирование. Отметим большое практическое значение моделей логистики или, в другой терминологии, управления запасами (см. раздел 8.4). В последние годы интерес вызывает моделирование финансового рынка.
	Важная проблема - учет неопределенности. Основное место она занимает в вероятностно-статистических моделях экономических и социально-экономических явлений и процессов. Проблемы устойчивости (к допустимым отклонениям исходных данных и предпосылок модели) для социально-экономических моделей рассматриваются в [4].
	Особое место занимают имитационные системы, позволяющие отвечать на вопросы типа: «Что будет, если...?» (Как подчеркивает академик РАН Н.Н. Моисеев в [5, с.212], «любая модель, в принципе, имитационная, ибо она имитирует реальность».) Основа имитации (смысл которой мы будем понимать как анализ экономического явления с помощью вариантных расчетов) - это математическая модель. Согласно [5, с.213], имитационная система - это совокупность моделей, имитирующих протекание изучаемого процесса, объединенная со специальной системой вспомогательных программ и информационной базой, позволяющих достаточно просто и оперативно реализовать вариантные расчеты. Таким образом, под имитацией понимается численный метод проведения машинных экспериментов с математическими моделями, описывающими поведение сложных систем в течение продолжительных периодов времени [2, с.9], при этом имитационный эксперимент состоит из следующих 6 этапов:
	1) формулировка задачи,
	2) построение математической модели,
	3) составление программы для ЭВМ,
	4) оценка пригодности модели,
	5) планирование эксперимента,
	6) обработка результатов эксперимента.
	Имитационное моделирование (simulation modelling) широко применяется в различных областях, в том числе в экономике [2]. Наиболее перспективным представляется синтез экспертных систем и математических моделей, впервые осуществленный в нашей стране еще в 70-е гг. ХХ в.
	При построении, изучении и применении экономико-математических моделей принятия решений используются различные математические методы, именуемые в данном контексте экономико-математическими (хотя они, как правило, могут с успехом использоваться и вне экономики, как, в частности, статистические методы анализа эмпирических экономических данных). Экономико-математические методы можно разделить на несколько групп:
	- методы оптимизации,
	- методы, учитывающие неопределенность, прежде всего, вероятностно-статистические,
	- методы построения и анализа имитационных моделей,
	- методы анализа конфликтных ситуаций (теории игр).
Во всех этих группах можно выделить статическую и динамическую постановки. При наличии фактора времени используют дифференциальные уравнения и разностные методы. 
	Рассмотрим перечисленные группы методов по отдельности.
	Методы оптимизации. Со времен классических работ нобелевского лауреата по экономике академика АН СССР Л.В. Канторовича один из основных классов экономико-математических методов - это методы оптимизации. Оптимальному управлению на основе экономико-математических моделей посвящена обширная литература, в ней используются такие термины, как оптимальное программирование и оптимальное планирование. В случае одного критерия принципиальных сложностей нет - применяют диалоговые компьютерные системы. Сложные проблемы - это выбор целевых функций, оценка устойчивости свойств оптимальности [4], многокритериальность. Для построения моделей с целью принятия решений используют теорию полезности.
	Вероятностно-статистические модели. Исходная научная база таких моделей - теория вероятностей и математическая статистика. Выделяют как самостоятельное направление прикладную статистику. Она включает в себя прикладную математическую статистику, ее программное обеспечение и методы сбора статистических данных и интерпретации результатов расчетов. Только первая из этих трех областей одновременно входит и в математическую статистику. Последняя включает в себя также чисто математическую область, в которой статистические структуры рассматриваются как математические объекты. Они изучаются внутриматематическими методами. Эту область научных исследований в ряде публикаций называют «аналитической статистикой». Таким образом, математическая статистика состоит из прикладной математической статистики, ориентированной на практическое применение, и ветви чистой математики под названием «аналитическая статистика», полезность которой для применений не подтверждена. 
	Статистические методы активно применяются в различных областях экономики, причем в России - уже более 150 лет. Как известно, эконометрика (или эконометрия) - это статистические методы анализа эмпирических экономических данных [3]. Однако в ХХ в. этот термин употреблялся в нашей стране почти исключительно в переводной литературе. 
	Имеются многочисленные работы по различным конкретным разделам прикладной статистики и эконометрики: 
	- по анализу нечисловых данных (см. часть 1 данного учебника);
	- по регрессионному анализу (методам восстановления зависимости и построения моделей, прежде всего линейных);
	- по планированию эксперимента;
	- по методам классификации (дискриминантного анализа, кластер-анализа, автоматической классификации, распознавания образов, систематики и типологии, теории группировок);
	- по многомерному статистическому анализу экономической информации;
	- по методам анализа и прогнозирования временных рядов;
	- по теории робастности (robustness), т.е. устойчивости статистических процедур к допустимым отклонениям исходных данных и предпосылок модели, 
	- по использованию различных индексов, в частности, индекса инфляции.
	Основной журнал в России, в котором публикуются исследования по прикладной статистике и, особенно, по планированию эксперимента - это «Заводская лаборатория» (секция «Математические методы исследования»).
	Теория конфликтных ситуаций (теория игр). Теория игр (более подходящее название - теория конфликта, или теория конфликтных ситуаций) зародилась как теория рационального поведения  двух игроков с противоположными интересами. Она наиболее проста, когда каждый из них стремится минимизировать свой средний проигрыш, т.е. максимизировать свой средний выигрыш. Отсюда ясно, что теория игр склонна излишне упрощать реальное поведение в ситуации конфликта. Участники конфликта могут оценивать свой риск по иным критериям. В случае нескольких игроков возможны коалиции. Большое значение имеет устойчивость точек равновесия и коалиций.
	В экономике еще 150 лет назад теория дуополии (конкуренции двух фирм) О.Курно развита на основе соображений, которые мы сейчас относим к теории игр. Новый толчок дан классической монографией Дж. фон Неймана и О.Моргенштейна «Теория игр и экономическое поведение», вышедшей вскоре после Второй мировой войны. В учебниках по экономике обычно разбирается «дилемма заключенного» и точка равновесия по Нэшу (ему присуждена Нобелевская премия по экономике за 1994 г.). 
	По теории игр имеется обширная литература, часть из которой непосредственно адресована экономистам. Однако в практической работе теория игр почти не используется. Если же это происходит, то она обычно выступает как часть более широкого подхода, ассоциированного с терминами «принятие решений», «конфликтная ситуация».
	Критика математической экономики. Второе из указанных выше направлений экономико-математического моделирования, т.е. посвященное моделям, которые непосредственно использовать в практической работе невозможно, обычно связывается с термином «математическая экономика». О нем акад. РАН Н.Н. Моисеев писал:
	«...Имеется развитое направление исследований, получившее название математической экономики. В работах, относящихся к этому направлению, изучаются свойства математических моделей, построенных на основе формализации некоторых понятий экономической науки, таких как, например, конкурентное равновесие. Используя некоторые предположения о функциональных зависимостях (например, о выпуклости функций и множеств), исследователи анализируют общие свойства моделей - доказывают теоремы о существовании экстремальных значений тех или иных параметров, изучают свойства точек равновесия, траекторий равновесного роста и т.д. Эти исследования содействовали становлению экономико-математических методов, помогали и помогают отточить математические методы, используемые в прикладных исследованиях. Однако с развитием математической экономики рассматриваемые в ней проблемы все более уходили от экономической реальности и становились чисто математическими. В результате этого в настоящее время математическая экономика представляет собой своеобразный раздел математики, изучающий математические конструкции, которые лишь с большой степенью произвола можно назвать экономическими моделями...» (из предисловия к учебному пособию А.В. Лотова «Введение в экономико-математическое моделирование» [6, с.6]). 
	Методы математического моделирования реальных экономических явлений и процессов, разумеется, полезны и необходимы, в частности, для успешной работы менеджеров, экономистов и инженеров, как на предприятиях, так и на государственной службе. Но нужны только те математические результаты, которые помогают экономисту в работе, в частности, методы теории принятия решений, эконометрики, прикладной математической статистики, экспертных оценок (в том числе сценарный метод).
	Нельзя не согласиться с тем очевидным утверждением, что некоторые теоретические работы, которые в настоящее время не удается связать с практикой, в будущем могут оказаться полезными для решения реальных задач. Лучший пример - история ядерной физики. 
	Нобелевская премия по экономике за 2002 год была присуждена Вернону Смиту и Даниэлю Кингману за экспериментальное изучение поведения потребителей. Установлено, что лица, чье потребительское поведение может быть описано в рамках экономико-математической теории полезности как максимизация функции полезности, реально составляют очень незначительную часть человеческих популяций. Остальные (в части экономики) действуют преимущественно иррационально, точнее, их действия являются рациональными на другом (более высоком) уровне рефлексии. Подавляющая часть людей вполне осознанно может пойти на ограничение личных потребностей ради общественного блага.
	Название «Математическая экономика» носят и некоторые публикации, лишенные указанных выше недостатков.

8.2. Устойчивость статистических выводов и 
принцип уравнивания погрешностей

	Устойчивость математических моделей. В идеале каждую модель порождения и анализа данных следовало бы рассматривать как аксиоматическую теорию. В этом идеальном случае создание и использование модели происходит в соответствии с известной триадой «практика - теория - практика». А именно, сначала вводятся некоторые математические объекты, соответствующие интересующим исследователя реальным объектам, и на основе представлений о свойствах реальных объектов формулируются необходимые для успешного моделирования свойства математических объектов, которые и принимаются в качестве аксиом. Затем аксиоматическая теория развивается как часть математики, вне связи с представлениями о реальных объектах. На заключительном этапе полученные в математической теории результаты интерпретируются содержательно. Получаются утверждения о реальных объектах, являющиеся следствиями тех и только тех их свойств, которые ранее были аксиоматизированы.
	После построения математической модели реального явления или процесса встает вопрос об ее адекватности. Иногда ответ на этот вопрос может дать эксперимент. Рассогласование модельных и экспериментальных данных следует интерпретировать как признак неадекватности некоторых из принятых аксиом. Однако для проверки адекватности социально-экономических моделей зачастую невозможно поставить решающий эксперимент в отличие, скажем, от физических моделей. С другой стороны, для одного и того же  явления или процесса, как правило, можно составить много возможных моделей, если угодно, много разновидностей одной базовой модели. Поэтому необходимы какие-то дополнительные условия, которые позволяли бы их множества возможных моделей и эконометрических методов анализа данных выбрать наиболее подходящие. В качестве одного из подобных условий выдвигается требование устойчивости модели и метода анализа данных относительно допустимых отклонений исходных данных и предпосылок модели или условий применимости метода.
	В большинстве случаев исследователей и практических работников интересуют не столько сами модели и методы, сколько решения, которые с их помощью принимаются. Ведь модели и методы для того и разрабатываются, чтобы подготавливать решения. Вместе с тем очевидно, что решения, как правило, принимаются в условиях неполноты информации. Так, любые числовые параметры известны лишь с некоторой точностью. Введение в рассмотрение возможных неопределенностей исходных данных требует каких-то заключений относительно устойчивости принимаемых решений по отношению к этим допустимым неопределенностям.
	Введем основные понятия согласно монографии [4]. Будем считать, что имеются исходные данные, на основе которых принимаются решения. Способ переработки (отображения) исходных данных в решение назовем моделью. Таким образом, с общей точки зрения модель - это функция, переводящая исходные данные в решение, т.е. способ перехода значения не имеет. Очевидно, любая рекомендуемая для практического использования модель должна быть исследована на устойчивость относительно допустимых отклонений исходных данных. Укажем некоторые возможные применения результатов подобного исследования:
	- заказчик научно-исследовательской работы получает представление о точности предлагаемого решения;
	- удается выбрать из многих моделей наиболее адекватную;
	- по известной точности определения отдельных параметров модели удается указать необходимую точность нахождения остальных параметров;
	- переход к случаю «общего положения» позволяет получать более сильные с математической точки зрения результаты.
	Примеры. По каждому из четырех перечисленных возможных применений в [4] и предыдущих частях данного учебника приведены различные примеры. В статистических методах точность предлагаемого решения связана с разбросом исходных данных и с объемом выборки. Выбору наиболее адекватной модели посвящены многие рассмотрения в главах 5 и 6, связанные с обсуждением моделей однородности и регрессии. Использование рационального объема выборки в статистике интервальных данных (см. часть 1 данного учебника) исходит из принципа уравнивания погрешностей. Этот принцип основан на том, что по известной точности определения отдельных параметров модели удается указать необходимую точность нахождения остальных параметров. Другим примером применения принципа уравнивания погрешностей является нахождение необходимой точности оценивания параметров в моделях логистики, рассмотренных в главе 5 монографии [4]. Наконец, переходом к случаю «общего положения» в прикладной статистике является, в частности, переход к непараметрическим методам, необходимый из-за невозможности обосновать принадлежность результатов наблюдений к тем или иным параметрическим семействам.
	Специалисты по математическому моделированию и теории управления считают устойчивость одной из важных характеристик технических, социально-экономических, медицинских и иных моделей. Достаточно глубокие исследования ведутся по ряду направлений.
	Первоначальное изучение влияния малого изменения одного параметра обычно называют анализом чувствительности. Оно описывается значением частной производной. Если модель задается дифференцируемой функцией, то итог анализа чувствительности - вектор значений частных производных в анализируемой точке.
	Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений развивается по крайней мере с XIX в. Выработаны соответствующие понятия - устойчивость по Ляпунову, корректность, доказаны глубокие теоремы. Для решения некорректных задач академиком АН СССР А.Н. Тихоновым в начале 1960-х гг. был предложен метод регуляризации. Модели явлений и процессов, выражаемые с помощью дифференциальных уравнений, могут быть исследованы на устойчивость путем применения хорошо разработанного математического аппарата. 
	Вопросы устойчивости изучались практически во всех направлениях прикладных математических методов - и в математическом программировании, и в теории массового обслуживания (теории очередей), и в эколого-экономических моделях, и в различных областях эконометрики. 
	Общая схема устойчивости. Прежде чем переходить к конкретным постановкам, обсудим разработанную в [4] общую схему устойчивости, дающую понятийную базу для обсуждения проблем устойчивости в различных предметных областях.
	Определение 1. Общей схемой устойчивости называется математический объект 
	Здесь - множество, интерпретируемое как пространство исходных данных; - множество, называемое пространством решений. Однозначное отображение  называется моделью. Об этих трех составляющих общей схемы устойчивости уже шла речь выше. 
	Оставшиеся два понятия нужны для уточнения понятий близости в пространстве исходных данных и пространстве решений. Подобные уточнения могут быть сделаны разными способами. Самое «слабое» уточнение - на языке топологических пространств. Тогда возможны качественные выводы (сходится - не сходится), но не количественные расчеты. Самое «сильное» уточнение - на языке метрических пространств. Промежуточный вариант - используются показатели различия (отличаются от метрик тем, что не обязательно выполняются неравенства треугольника) или вводимые ниже понятия.
	Пусть d - показатель устойчивости, т.е. неотрицательная функция, определенная на подмножествах У множества  и такая, что из  вытекает  Часто показатель устойчивости d(Y) определяется с помощью метрики, псевдометрики или показателя различия (меры близости)  как диаметр множества У, т.е. 

Таким образом, в пространстве решений с помощью показателя устойчивости вокруг образа исходных данных может быть сформирована система окрестностей. Но сначала надо такую систему сформировать в пространстве исходных данных.
	Пусть  - совокупность допустимых отклонений. Т.е. система подмножеств множества  такая, что каждому элементу множества исходных данных  и каждому значению параметра  из некоторого множества параметров  соответствует подмножество  множества исходных данных. Оно называется множеством допустимых отклонений в точке х при значении параметра, равном . Наглядно можно представить себе, что вокруг точки х взята окрестность радиуса . 
	Определение 2. Показателем устойчивости в точке х при значении параметра, равном , называется число

	Другими словами, это - диаметр образа множества допустимых колебаний при рассматриваемом в качестве модели отображении. Очевидно, что этот показатель устойчивости зависит как от исходных данных, так и от диаметра множества возможных отклонений в исходном пространстве. Для непрерывных функций показатель устойчивости обычно называется модулем непрерывности. 
	Естественно посмотреть, насколько сузится образ окрестности возможных отклонений при максимально возможном сужении этой окрестности. 
	Определение 3. Абсолютным показателем устойчивости в точке х  называется число

	Если функция f непрерывна, а окрестности - именно те, о которых идет речь в математическом анализе, то максимальное сужение означает сужение к точке и абсолютный показатель устойчивости равен 0. Но в теории измерений и статистике интервальных данных мы сталкиваемся с совсем иными ситуациями. В теории измерений окрестностью исходных данных являются все те вектора, что получаются из исходного путем преобразования координат с помощью допустимого преобразования шкалы, а допустимое преобразование шкалы берется из соответствующей группы допустимых преобразований. В статистике интервальных данных под окрестностью исходных данных естественно понимать - при описании выборки - куб с ребрами  и центром в исходном векторе. И в том, и в другом случае максимальное сужение не означает сужение к точке.
	Естественным является желание ввести характеристики устойчивости на всем пространстве. Не вдаваясь в математические тонкости (см. о них монографию [4]), рассмотрим меру  на пространстве  такую, что мера всего пространства равна 1 (т.е. 
	Определение 4. Абсолютным показателем устойчивости на пространстве исходных данных  по мере  называется число

	Здесь имеется в виду интеграл Лебега. Интегрирование проводится по (абстрактному) пространству исходных данных  по мере . Естественно, должны быть выполнены некоторые внутриматематические условия. Читателю, незнакомому с интегрированием по Лебегу, достаточно мысленно заменить в предыдущей формуле интеграл на сумму (а пространство  считать конечным, хотя и состоящим из большого числа элементов). 
	Определение 5. Максимальным абсолютным показателем устойчивости называется

	Легко видеть, что  где супремум берется по всем описанным выше мерам. 
	Итак, построена иерархия показателей устойчивости  математических моделей реальных явлений и процессов. Она с успехом использовалась в различных исследованиях, подробно развивалась, в частности, в монографии [4]. Приведем еще одно полезное определение.
	Определение 6. Модель f называется абсолютно -устойчивой, если  где  - максимальный абсолютный показатель устойчивости.
	Пример. Если показатель устойчивости формируется с помощью метрики , совокупность допустимых отклонений  - это совокупность всех окрестностей всех точек пространства исходных данных , то 0-устойчивость модели f эквивалентна непрерывности модели f на множестве .
	Основная проблема в общей схеме устойчивости - проверка -устойчивости данной модели f относительно данной системы допустимых отклонений .
	Часто оказываются полезными следующие два обобщения основной проблемы. 
	Проблема А (характеризации устойчивых моделей). Даны пространство исходных данных , пространство решений , показатель устойчивости d, совокупность допустимых отклонений  и неотрицательное число . Описать достаточно широкий класс -устойчивых моделей f. Или: найти все -устойчивые модели среди моделей, обладающих данными свойствами, т.е. входящих в данное множество моделей. 
	Проблема Б (характеризации систем допустимых отклонений). Даны пространство исходных данных , пространство решений , показатель устойчивости d, модель f и неотрицательное число . Описать достаточно широкий класс систем допустимых отклонений , относительно которых модель f является -устойчивой. Или: найти все такие системы допустимых отклонений  среди совокупностей допустимых отклонений, обладающих данными свойствами, т.е. входящих в данное множество совокупностей допустимых отклонений.
	Проблемы А и Б можно рассматривать не только для показателя устойчивости , но и для других только что введенных показателей устойчивости, а именно, 
	Язык общей схемы устойчивости позволяет описывать конкретные задачи специализированных теорий устойчивости в различных областях исследований, выделять в основные элементы в них, ставить проблемы типа А и Б. В частности, на этом языке легко формулируются задачи теории устойчивости решений дифференциальных уравнений, теории робастности статистических процедур (см. главу 3.4), проблемы адекватности теории измерений, достигаемой точности расчетов в статистике интервальных данных   и в логистике (см. монографию [4]), и т.д. 
	Для примера рассмотрим определение устойчивости по Ляпунову решения  нормальной автономной системы дифференциальных уравнений  с начальными условиями  Здесь пространство исходных данных  - конечномерное евклидово пространство, множество допустимых отклонений  окрестность радиуса  точки , пространство решений - множество функций на луче  с метрикой 

Модель f - отображение, переводящее начальные условия х в решение системы дифференциальных уравнений с этими начальными условиями  
	В терминах общей схемы устойчивости положение равновесия а называется устойчивым по Ляпунову, если  Для формулировки определения асимптотической устойчивости по Ляпунову надо ввести в пространстве решений  псевдометрику 

Положение равновесия а называется асимптотически устойчивым, если  для некоторого  где показатель устойчивости  рассчитан с использованием псевдометрики . 
	Таким образом, общая схема устойчивости естественным образом включает в себя классические понятия теории устойчивости по Ляпунову. Вместе с тем стоит отметить, что эта схема дает общий подход к различным проблемам устойчивости. Она дает систему понятий, которые в каждом конкретном случае должны приспосабливаться к решаемой задаче.
	До настоящего момента для определенности речь шла о допустимых отклонениях в пространстве исходных данных. Часто оказывается необходимым говорить и об отклонениях от предпосылок модели. С чисто формальной точки зрения для этого достаточно расширить понятие «исходные данные» до пары (x, f), т.е. включив «прежнюю» модель в качестве второго элемента пары. Все остальные определения остаются без изменения. Теперь отклонения в пространстве решений вызываются не только отклонениями в исходных данных x, но и отклонениями от предпосылок модели, т.е. отклонениями f. Это соображение нам понадобилось в разделе 3.4, посвященном робастности статистических процедур. 
	Устойчивость по отношению к объему выборки. Различные асимптотические постановки в прикладной статистике также естественно рассматривать как задачи устойчивости. Если при безграничном возрастании объема выборки некоторая величина стремится к пределу, то в терминах общей схемы устойчивости это означает, что она 0-устойчива в соответствующей псевдометрике (см. выше обсуждение асимптотической устойчивости по Ляпунову). С содержательной точки зрения употребление термина «устойчивость» в такой ситуации представляется вполне оправданным, поскольку рассматриваемая величина мало меняется при изменении объема выборки.
	Рассмотрим проблему и методы оценки близости предельных распределений статистик и распределений, соответствующих конечным объемам выборок. При каких объемах выборок уже можно пользоваться предельными распределениями? Каков точный смысл термина «можно» в предыдущей фразе? Основное внимание уделяется переходу от точных формул допредельных распределений к пределу и применению метода статистических испытаний (Монте-Карло). 
	Начнем с обсуждения взаимоотношений асимптотической математической статистики и практики анализа статистических данных. Как обычно подходят к обработке реальных данных в конкретной задаче? Первым делом строят статистическую модель. Если хотят перенести выводы с совокупности результатов наблюдений на более широкую совокупность, например, предсказать что-либо, то рассматривают, как правило, вероятностно-статистическую модель. Например, традиционную модель выборки, в которой результаты наблюдений - реализации независимых (в совокупности) одинаково распределенных случайных величин. Очевидно, любая модель лишь приближенно соответствует реальности. В частности, естественно ожидать, что распределения результатов наблюдений несколько отличаются друг от друга, а сами результаты связаны между собой, хотя и слабо.
	Итак, первый этап - переход от реальной ситуации к математической модели. Далее - неожиданность: на настоящем этапе своего развития математическая теория статистики зачастую не позволяет провести необходимые исследования для имеющихся объемов выборок. Более того, отдельные математики пытаются оправдать свой отрыв от практики соображениями о структуре этой теории, на первый взгляд убедительными. Неосторожная давняя фраза Б.В. Гнеденко и А.Н. Колмогорова: «Познавательная ценность теории вероятностей раскрывается только предельными теоремами» (см. их классическую монографию «Предельные распределения для сумм независимых случайных величин» 1949 г., одну из наиболее ценных математических книг ХХ в.) взята на вооружение и более близкими к нам по времени авторами. Так, И.А. Ибрагимов и Р.З. Хасьминский пишут в 1979 г.: «Решение неасимптотических задач оценивания, хотя и весьма важное само по себе, как правило, не может являться объектом достаточно общей математической теории. Более того, соответствующее решение часто зависит от конкретного типа распределения, объема выборки и т.д. Так, теория малых выборок из нормального закона будет отличаться от теории малых выборок из закона Пуассона».
	Согласно цитированным авторам и их единомышленникам, основное содержание математической теории статистики - предельные теоремы, полученные в предположении, что объемы рассматриваемых выборок стремятся к бесконечности. Эти теоремы опираются на предельные соотношения теории вероятностей, типа Закона больших чисел и Центральной предельной теоремы. Ясно, что сами по себе подобные утверждения относятся к математике, т.е. к сфере чистой абстракции, и не могут быть непосредственно применены для анализа реальных данных. Их практическое использование, о котором «чистые» математики предпочитают не думать, опирается на важное предположение: «При данном объеме выборки достаточно точными являются асимптотические формулы».
	Конечно, в качестве первого приближения представляется естественным воспользоваться асимптотическими формулами, не тратя сил на анализ их точности. Но это - лишь начало долгой цепи исследований. Как же обычно преодолевают разрыв между результатами асимптотической математической статистики и потребностями практики статистического анализа данных? Какие «подводные камни» подстерегают на этом пути?  
	Точные формулы и асимптотика. Начнем с наиболее продвинутой в математическом плане ситуации, когда для статистики известны как предельное распределение, так и распределения при конечных объемах выборки. 
	Примером является двухвыборочная односторонняя статистика Н.В. Смирнова. Рассмотрим две независимые выборки объемов m и n из непрерывных функций распределения F(x) и G(x) соответственно. Для проверки гипотезы однородности двух выборок (ср. главу 5)
H0: F(x) = G(x) для всех действительных чисел x
в 1939 г. Н.В. Смирнов предложил использовать статистику
D+(m,n) = sup (Fm(x) – Gn(x)) ,
где Fm(x) - эмпирическая функция распределения, построенная по первой выборке, Gn(x) - эмпирическая функция распределения, построенная по второй выборке, супремум берется по всем действительным числам x. 
	Для обсуждения проблемы соотношения точных и предельных результатов ограничимся случаем равных объемов выборок, т.е. m = n. Положим 

Н.В. Смирнов установил, что при безграничном возрастании объема выборки n вероятность H(n, t) стремится к exp(- t2). 
	В 1951 г. Б.В. Гнеденко и В.С. Королюк показали, что при целом  (именно при таких t вероятность H(n, t) как функция t имеет скачки, поскольку статистика Смирнова D+(n,n) кратна 1/n) рассматриваемая вероятность H(n, t) выражается через биномиальные коэффициенты, а именно,
		(8.1)
	К сожалению, непосредственные расчеты по формуле (8.1) возможны лишь при сравнительно небольших объемах выборок, поскольку величина n! (n-факториал) уже при n = 100 имеет более 200 цифр и не может быть без преобразований использована в вычислениях. Следовательно, наличие точной формулы для интересующей нас вероятности не снимает необходимости использования предельного распределения и изучения точности приближения с его помощью.
	Широко известная формула Стирлинга для гамма-функции и, в частности, для факториалов позволяет преобразовать последнее выражение в асимптотическое разложение. Т.е. построить бесконечный степенной ряд (по степеням n) такой, что каждая следующая частичная сумма дает все более точное приближение для интересующей нас вероятности H(x, t). Это и было сделано в работе А.А. Боровкова 1962 г. Большое количество подобных разложений для различных статистических задач приведено в работах В.М. Калинина и О.В. Шалаевского конца 1960-х - начала 1970-х гг. (Интересно отметить, что асимптотические разложения в ряде случаев расходятся, т.е. остаточные члены имеют нетривиальную природу.) 
	Затем в работах конца семидесятых годов сделана попытка теоретически оценить остаточный член второго порядка. Итоги подведены в монографии [4, §2.2, с.37-45]. Справедливо равенство
H(n, t) = exp( - t2) (1 + f(t)/n + g(n,t)/ n2),
где
f(t) = t2 (1/2 - t2/6).
Целью последних из названных работ было получение равномерных по n, t оценок остаточного члена второго порядка g(n,t) сверху и снизу в области, задаваемой условиями 
		(8.2)
где  - некоторые параметры. С помощью длинных цепочек оценок остаточных членов в формулах, получаемых при преобразовании формулы (8.1) к предельному виду, сформулированная выше цель была достигнута. Для различных наборов параметров  получены равномерные по n, t оценки (сверху и снизу) остаточного члена второго порядка g(n,t) в области (8.2). Так, например, при А = 0,5, tmax = 1,73, n0 = 8 нижняя граница равна (- 0,71), а верхняя есть 2,65.
	Основными недостатками такого подхода являются, во первых, зависимость оценок от параметров , задающих границы областей, во-вторых, завышение оценок, иногда в сотни раз, обусловленное желанием получить равномерные оценки по области (оценкой реальной погрешности в конкретной точке является значение следующего члена асимптотического разложения).
	Поэтому при составлении рассчитанной на практическое использование методики [7] проверки однородности двух выборок с помощью статистики Смирнова мы решили перейти на несколько другую методологию (назовем ее «методологией заданной точности»), которую кратко можно описать следующим образом.
	1) выбирается достаточно малое положительное число р, например р = 0,05 или р = 0,20;
	2) приводятся точные значения H(n, t) для всех значений n таких, что 
|H(n, t) - exp( - t2)| > p exp( - t2);
	3) если же последнее неравенство не выполнено, то используется вместо H(n, t) предельное значение exp(-t2).
	Таким образом, принятая в методике [7] методология предполагает интенсивное использование вычислительной техники. Результатами расчетов являются граничные значения объемов выборок n(p,t) такие, что при меньших значениях объемов выборок рекомендуется пользоваться точными значениями функции распределения статистики Смирнова, а при больших - предельными. Описывается этот результат таблицей, а не формулой. При построении реальных таблиц не обойтись без выбора того или иного конкретного значения р, задающего объемы таблиц. 
	Оценки скорости сходимости. Теоретические оценки скорости сходимости в различных задачах прикладной математической статистики иногда формулируются в весьма абстрактном виде. Так, в 1960-1970-х гг. была популярна задача оценки скорости сходимости распределения классической статистики омега-квадрат (Крамера-Мизеса-Смирнова). Для максимума модуля разности допредельной и предельной функций распределения этой статистики различные авторы доказывали, что для любого e>0 существует константа С(e) такая, что он не превосходит С(e)n-w+e. Прогресс состоял в увеличении константы w. Сформулированный выше результат был доказан последовательно для w = 1/10, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 1/2 и 1 (подробнее история этих исследований рассказана в §2.3 монографии [4]).
	Конечно, все эти исследования не могли дать конкретных практических рекомендаций. Однако необходимой исходной точкой является само существование предельного распределения. Представим себе, что некто, не зная, что у распределения Коши нет математического ожидания, моделирует выборочные средние арифметические результатов наблюдений из этого распределения. Ясно, что его попытки оценить скорость сходимости выборочных средних к пределу обречены на провал.
	Последовательное улучшение теоретических оценок скорости сходимости дает надежду на быструю реальную сходимость. Действительно, численные расчеты показали, что предельным распределением для статистики омега-квадрат (Крамера-Мизеса-Смирнова) можно пользоваться уже при объеме выборки, равном 4. 
	Использование датчиков псевдослучайных чисел. Если же предельное распределение известно, возникает возможность изучить скорость сходимости численно методом статистических испытаний (Монте-Карло). Однако при этом обычно возникают две проблемы.
	Во-первых, откуда известно, что скорость сходимости монотонна? Если при данном объеме выборки различие мало, то будет ли оно мало и при дальнейших объемах? Иногда отклонения допредельного распределения от предельного объясняются довольно сложными причинами. Так, для распределения хи-квадрат они связаны с рядом до сих пор не решенных теоретико-числовых проблем о числе целых точек в эллипсоиде растущего диаметра.  
	Во-вторых, с помощью датчиков псевдослучайных чисел получаем допредельные распределения с погрешностью, которая может преуменьшать различие. Поясним мысль аналогией. Растущий сигнал измеряется с погрешностями. Когда можно гарантировать, что его величина наверняка превзошла заданную границу? 
	Проблема качества датчиков псевдослучайных чисел продолжает оставаться открытой. Для моделирования в пространствах фиксированной размерности датчики псевдослучайных чисел решают поставленные задачи. Но для рассматриваемых здесь задач размерность не фиксирована - мы не знаем, при каком конкретно объеме выборки можно переходить к предельному распределению согласно «методологии заданной точности». 
	Нужны дальнейшие работы по изучению качества датчиков псевдослучайных чисел в задачах неопределенной размерности. Поскольку критиков датчиков обычно обвиняют в том, что они сами их не используют, отметим, что мы применяли этот инструментарий при изучении помех, создаваемых электровозами (см. раздел 8.6), при изучении статистических критериев проверки однородности двух выборок (см. раздел 5.7).
	А нужна ли вообще асимптотика? В настоящее время развивается актуальное направление статистических методов, связанное с интенсивным использованием вычислительной техники для изучения свойств статистических процедур. Как уже отмечалось, математические методы в статистике обычно позволяют получать лишь асимптотические результаты, и для переноса выводов на конечные объемы выборок приходится применять вычислительные методы. Разработан и успешно применяется компьютерно-статистический подход, основанный на интенсивном использовании современной вычислительной техники. Основная идея такова: в качестве альтернативы асимптотическим методам математической статистики используется анализ результатов статистического моделирования (порядка 2000 - 100000 испытаний) выборок конкретных объемов (10, 50, 100, 200, 500, 1000). При этом анализ предельных распределений заменяется на анализ распределений соответствующих статистик при указанных объемах выборок.
	К достоинствам компьютерно-статистического подхода относится возможность замены теоретических исследований расчетами. Достаточно простая программная система дает (в принципе) возможность численно изучить свойства любого статистического алгоритма для любого конкретного распределения результатов наблюдений и любого конкретного объема выборки. К недостаткам рассматриваемого подхода относится зависимость от свойств датчиков псевдослучайных чисел, а также - что более важно - неизвестность предельного распределения (и даже самого факта его существования), а потому невозможность обоснованного переноса полученных выводов на объемы выборок, отличные от исследованных. Более существенный недостаток – зависимость выводов от того, какое именно распределение моделируется – нормальное, логистическое, Вейбулла-Гнеденко или какое-либо еще. Ведь выводы могут сильно измениться при переходе к другому распределению, а все распределения – их бесконечное количество – перебрать невозможно. Поэтому с точки зрения теории математической статистики полученные рассматриваемым способом результаты следует рассматривать как правдоподобные (а не доказательные, как в классической математической статистике). 
	Кроме того, они принципиально неточные. Даже в наиболее благоприятных условиях отклонение (в метрике «супремум разности», другое её название – метрика Колмогорова) смоделированного распределения, построенного по 2000 испытаниям, от теоретического предельного распределения может достигать 1,358×(1/2000)1/2 = 0,030. Это означает, в частности, что процентные точки, соответствующие уровням значимости 0,05 и особенно 0,01, могут сильно отличаться от соответствующих процентных точек предельных распределений. Конечно, точность можно увеличить, взяв существенно больше испытаний – не 2000, а 100000. Очевидно, следующий этап работ - изучение точности полученных в рассматриваемом подходе выводов, прежде всего приближений и процентных точек, в зависимости от числа испытаний в методах Монте-Карло.
	Однако сразу все не сделаешь. Поэтому необходимо развивать новые компьютерные подходы к давним задачам прикладной статистики. Так, весьма интересными и полезными и являются результаты, касающиеся сравнения реальных и номинальных уровней значимости в задачах проверки статистических гипотез (см. раздел 5.7).
	Однако стоит сделать два замечания. В работе [8] сравниваются два плана контроля надежности технических изделий. Оказывается, что при объемах выборки, меньших 150, лучше первый план, а при объемах, больших 150 - второй. Значит, если бы методом статистического моделирования сравнивались эти планы, причем был взят достаточно большой объем выборки n = 100, то лучшим был бы признан первый план, что неверно - наступит момент (объем выборки), когда лучшим станет второй план.  
	Другая относящаяся к делу ассоциация - из прикладной математики. Будем суммировать бесконечный ряд с членами zn= 1/n. Поскольку члены его убывают, то обычно используемые алгоритмы остановят вычисления на каком-то шагу. А сумма-то - бесконечна!
	Кажется, что компьютер дал универсальную отмычку ко всем проблемам вообще и в области прикладной статистики в частности. Но это только кажется. 
	Принцип уравнивания погрешностей состоит в том, что погрешности различной природы должны вносит примерно одинаковый вклад в общую погрешность математической модели. Так, определение рационального объема выборки в статистике интервальных данных основано на уравнивании влияния метрологической и статистической погрешностей (см. часть 1 данного учебника). Согласно подходу [4] выбор числа градаций в социологических анкетах целесообразно проводить на основе уравнивания погрешностей квантования и неопределенности в ответах респондентов (см. разд. 12.3). В классической модели управления запасами целесообразно уравнять влияние неточностей в определении параметров на отклонение целевой функции от оптимума. Из принципа уравнивания погрешностей следует, что относительные погрешности определения различных параметров модели должны совпадать [4]. При использовании классической модели управления запасами погрешность, порожденная отклонением спроса от линейного, оценивается по данным об отпуске товаров. Это дает возможность оценить допустимые отклонения для других параметров. В частности, установить, что расхождения между методиками не являются существенными (см. разд. 8.4). 
	При формулировке принципа уравнивания погрешностей в терминах общей схемы устойчивости рассмотрим для простоты записи случай двух параметров. Пусть Α = [0, ∞)×[0,∞) и E(x, α) = E(x, (ε, δ)), где ε > 0 и δ > 0 задают точность определения соответствующих параметров, так что  при ε1 < ε2, δ1 < δ2. Пусть ε задано, а δ исследователь может выбрать, причем известно, что уменьшение δ связано с увеличением расходов. Как выбирать δ? Представляется естественным «уравнять» отклонения, порожденные различными параметрами, т.е. определить δ из условия 
β(x, E(x, (ε, δ)) – β(x, E(x, (ε, 0)) ≈ β(x, E(x, (0, δ)).	(8.3)
	Если затраты и полезный эффект точно известны, то δ можно определить путем решения соответствующей оптимизационной задачи. В противном случае соотношение (8.3) предлагается использовать в качестве эвристического правила – принципа уравнивания погрешностей. 

8.3. Демографические модели

	Для подготовки и принятия решений в государственном и муниципальном управлении, в маркетинге, в стратегическом менеджменте и в других областях организационно-экономической деятельности необходимы прогнозы численности населения, его полового и возрастного состава. 
	Возможны два подхода к прогнозированию демографических характеристик. Можно взять временной ряд численности населения и прогнозировать его с помощью того или иного статистического или экспертного метода. При этом формирование модели формирования населения не предполагается. Несмотря на это, из-за большой инерционности демографических процессов такое «внешнее» прогнозирование оказывается полезным, особенно на небольших интервалах прогноза.
	«Внешнее» прогнозирование не всегда позволяет разобраться в существе процесса. Рассмотрим такой показатель, как смертность (число умерших на 1000 человек). Смертность зависит не только от здоровья населения, но и от его полового и возрастного состава. Например, в «молодом» обществе много молодых семей и велика рождаемость, его численность растет, а потому смертность мала, хотя старшее поколение может умирать сравнительно рано, в 40 - 50 лет. Наоборот, в стабилизировавшемся по численности или вырождающемся обществе, в котором много пожилых людей и мало молодежи, смертность велика. 
	Рост (падение) смертности может быть вызван двумя основными причинами – ухудшением (улучшением) социально-экономического положения населения или же изменением половой и возрастной структуры населения. Однако если наблюдается резкое падение (или рост) смертности, то это – результат действия первой причины, поскольку структура населения меняется медленно. Например, в СССР в результате антиалкогольной компании 1980-х гг. смертность заметно снизилась (относительно прогнозируемой по предыдущим годам зависимости), а в 1990-х гг. в РФ резко повысилась, особенно в начале десятилетия, из-за снижения в разы жизненного уровня населения и тяжелой социально-экономической обстановки.
	С рождаемостью ситуация сложнее, поскольку на нее влияют не только перечисленные причины, но и изменение стиля жизни. Если сто и более лет назад интересы большинства женщин были ориентированы на семью с большим числом детей (многие из которых – до 50% - умирали во младенчестве), то в течение ХХ в. значительная часть женской половины человечества стала заниматься профессиями, которые ранее рассматривались как чисто мужские. Перед ними возник выбор – рождение детей или профессиональное продвижение. В результате появилось понятие «планирование семьи», а рождаемость сократилась. 
	Правительства различных стран успешно занимались управлением рождаемостью. Для одних стран, таких, как Китай, Индия, целью было сокращение рождаемости. В странах с сильной государственной властью эффективными оказались административные методы. Например, в Китае в городах долгое время семье разрешалось иметь только одного ребенка. За рождением второго следовали санкции – штрафы, повышенная оплата за детские товары, медицинское обслуживание, обучение. Поскольку в европейских странах (Франции и Германии) падение рождаемости во второй половине ХХ в. угрожало депопуляцией, то для стимулирования рождаемости применялись экономические меры: выплата значительных пособий на воспитание детей. Во Франции пособия на трех детей превышали среднюю заработную плату по стране. В результате снижение численности коренного населения удалось приостановить.
	Демографические модели. Для более точного демографического прогнозирования, количественного, а не только качественного, необходимо использовать статистические модели динамики половозрастного состава населения [3]. Такие модели основываются на прослеживании судьбы поколения, рожденного в определенный временной промежуток, например, в год t0. Пусть всего в этот год родилось N(t0) человек. Далее каждый год их количество будет уменьшаться, пока не достигнет 0. 
	Через год численность поколения составит N(t0+1) человек. За этот год умерли N(t0) - N(t0+1) человек. Частота смерти за первый год составляет q(1) = (N(t0) - N(t0+1))/N(t0), а 1- q(1) - частота того, что человек благополучно перейдет в следующую возрастную категорию. Ясно, что N(t0+1)= N(t0)(1- q(1)).  
	Через два года численность поколения составит N(t0+2) человек. За второй год умерли N(t0+1) - N(t0+2) человек. Частота смерти за второй год составляет q(2) = (N(t0+1) - N(t0+2))/N(t0+1). При этом (1- q(2)) - частота того, что человек благополучно перейдет в следующую возрастную категорию. Ясно, что N(t0+2) = N(t0)(1-q(1))(1- q(2)). И так далее. 
	Через k лет, k = 1, 2, 3, …, численность поколения составит N(t0+k) человек. За k-й год умерли N(t0+(k-1)) - N(t0+k) человек. Частота смерти за второй год составляет q(k) = (N(t0+(k-1)) - N(t0+k))/N(t0+ (k-1)). Очевидно, 1- q(k) - частота того, что человек благополучно перейдет в следующую возрастную категорию. Ясно, что N(t0+ k)= N(t0) (1-q(1))(1- q(2))...(1- q(k)).
	Возрастные коэффициенты смертности. Здесь q(1), q(2),... q(k),…- погодовые возрастные коэффициенты смертности. Это – частоты некоторых событий, т.е. оценки соответствующих вероятностей. Но поскольку наблюдений много, можно не делать различия между частотами и вероятностями. Возрастной коэффициент смертности q(k) есть условная вероятность того, что человек, проживший (k-1) лет, умрет в течение k-го года. Возрастные коэффициенты смертности рассчитывают не только для всего населения в целом, но отдельно для мужчин и женщин, для различных регионов, социальных групп (например, жителей крупных городов и сельских поселений). Часто используют более длинные промежутки времени, чем год, особенно при выделении поколений. Например, поколением считаются все, родившиеся с 1945 г. по 1954 г. Очевидно, возрастные коэффициенты смертности зависят от начала отсчета t0  - от «даты рождения» поколения. Прослеживают судьбу поколения в течение 90-100 лет, поскольку в настоящее время лишь мизерные доли процента численности поколения живут дольше. 
	На возрастные коэффициенты смертности конкретных поколений никак не влияет половозрастная структура всего населения. А вот изменение социально-экономического положения и уровня медицинского обслуживания населения, как показывают статистические наблюдения, отражаются в изменении возрастных коэффициентов смертности. Например, в 1999 г. возрастные коэффициенты смертности российских мужчин и женщин выросли (по сравнению с предыдущим годом) примерно на 10% для всех поколений от 20 до 60 лет [3]. Это наглядно говорит об ухудшении социально-экономической обстановки и условий жизни в 1999 г., что можно связать с двукратным падением уровня жизни среднего жителя России в результате экономического кризиса, последовавшего за дефолтом в августе 1998 г.  
	Погодовые возрастные коэффициенты смертности q(1), q(2),... q(k),… позволяют рассчитать различные демографические характеристики поколения. Например, вероятность p(k) того, что продолжительность жизни представителя поколения составляет ровно k лет, равна вероятности того, что он переживет (k-1) контрольных сроков и умрет до наступления k-го, т.е. равна
		
Таким образом, продолжительность жизни моделируется дискретной случайной величиной Х с распределением 

Средняя продолжительность жизни в рассматриваемом поколении, т.е. математическое ожидание продолжительности жизни, есть
.
	Строго говоря, все эти характеристики можно рассчитать только после того, как поколение закончит свой жизненный путь (по крайней мере через сто лет после начала отсчета t0). Однако судьба ушедшего поколения волнует немногих. И возрастные коэффициенты смертности используются в демографии по-другому.
	Базовая модель в демографии может быть описана так: возрастные коэффициенты смертности постоянны и равны значениям, рассчитанным за последний год. Это значит, что демографическая ситуация в год t описывается вероятностями p1(k), k = 1, 2, …, причем p1(k) = p(k) для поколения, чей жизненный путь начался в году t – k. 
	Таким образом, по данным 2010 г. вероятность p1(1) рассчитывается для рожденных в 2009 г., p1(2) – для  детей 2008 года рождения, p1(3)  - для поколения 2007 г.,…, p1(20) – для тех, кто родился в 1990 г., …, p1(40) – для поколения 1970 г.,…, p1(70) – для родившихся в 1940 г.,…, p1(100) - для лиц 1910 г. рождения. Можно сконструировать случайную величину Х1 – продолжительность жизни в предположении постоянства имеющихся в фиксированный момент временных коэффициентов смертности. Ее распределение имеет вид 

	Средней ожидаемой продолжительностью предстоящей жизни (СОППЖ), или, короче и менее точно, ожидаемой продолжительностью жизни называется

	Средняя ожидаемая продолжительность предстоящей жизни – наиболее общая характеристика качества жизни. Чем она выше, тем лучше живут люди, тем лучше социально-экономические условия, медицина, обычаи. 
	Изменения СОППЖ в различные периоды времени имели различные причины. В первой половине ХХ в. СОППЖ росла в основном за счет снижения детской смертности. Затем наступила очередь снижения потерь в рабочих возрастах (20-60 лет). «Естественная» продолжительность жизни, при отсутствии ранних заболеваний, травм, убийств и самоубийств, сравнительно мало меняется во времени. По мнению ряда специалистов она равна 89+5 лет. 
	СОППЖ в России. Приведем табл. 8.1 значений СОППЖ в России за 1960-1999 гг., составленную на основе [3] и данных Росстата. Ее анализ показывает, что самым лучшим с точки зрения СОППЖ был 1965 год. Действительно, это был год, когда положение СССР в мире было самым лучшим за весь ХХ век. Последствия войн ушли в прошлое. Успехи СССР в мирном строительстве, в космосе, в области атомной энергии были общепризнанными. Социально-психологическое состояние населения было наилучшим за ХХ век. 
	По значениям СОППЖ выделяются два периода. В первом, с 1960 г. по 1990 г., СОППЖ для мужчин колеблется между 61,4 (1980 г.) и 64,6 (1964 г.), для женщин между 72,0 (1960 г.) и 74,3 (1990 г.). В дальнейшие годы (1991-1999) все значения СОППЖ для мужчин меньше, чем минимум за годы первого периода. Сначала идет резкое монотонное падение – с 63,8 лет в 1990 г. до 57,6 лет в 1994 г., всего на 6,2 года. Затем медленный подъем до 61,3 лет в 1998 г. И опять спад до 59,9 лет. Для женщин картина аналогичная, но менее выраженная. Сначала идет монотонное падение – с 74,3 лет в 1990 г. до 71,2 лет в 1994 г., всего на 3,1 года. Затем медленный подъем до 72,9 лет в 1998 г. И опять спад до 72,4 лет. Это меньше, чем любое значение за период 1965-1990 гг. Табл.8.1 демонстрирует корреляцию изменений СОППЖ и социально-экономического положения населения. Наибольшее падение СОППЖ как для мужчин, так и для женщин приходится на годы наиболее резкого снижения жизненного уровня, а именно, 1992-1994 гг. и 1999 г.
 
Таблица 8.1
Средняя ожидаемая продолжительность
предстоящей жизни в России
Год	Мужчины	Женщины	Среднегодовой прирост	
			Мужчины	Женщины	
1960	63,6	72,0			
1965	64,6	73,4	0,19	0,28	
1970	63,1	73,4	-0,29	0,01	
1975	62,5	73,2	-013	-005	
1980	61,4	72,9	-0,22	-0,07	
1985	62,8	73,3	0,27	0,10	
1990	63,8	74,3	0,21	0,21	
1991	63,5	74,3	-0,27	-0,08	
1992	62,0	73,8	-1,50	-0,50	
1993	58,9	71,9	-3,09	-1,92	
1994	57,6	71,2	-1,32	-0,70	
1995	58,3	71,7	0,68	0,52	
1996	59,8	72,5	1,48	0,79	
1997	60,8	72,9	1,00	0,40	
1998	61,3	72,9	0,55	0,04	
1999	59,9	72,5	-1,37	-0,55	
2000	59,03	72,26	-0,87	-0,24	
2001	58,92	72,17	-0,11	-0,09	
2002	58,68	71,90	-0,24	-0,27	
2003	58,55	71,84	-0,13	-0,06	
2004	58,89	72,30	0,34	0,46	
2005	58,87	72,39	-0,02	0,09	
2006	60,37	73,23	1,5	0,84	
2007	61,39	73,90	1,03	0,67	
2008	61,83	74,16	0,44	0,26	
2009	62,87	74,67	1,04	0,51	

	Артефакт или факт? Как и иные данные о социально-экономических явлениях и процессах, демографические данные зачастую пытаются интерпретировать в угоду политическим концепциям. Например, утверждается, что небывалый в мирное время подъем смертности в России в первой половине 1990-х годов – артефакт. Значительное снижение СОППЖ (табл. 8.1), значительное возрастание смертности в рабочих возрастах (см. табл. 8.2 из [3]) и другие факты неопровержимо свидетельствуют, что небывалый в мирное время подъем смертности в России в первой половине 1990-х гг. – достоверный факт. 
	Как же некоторые авторы пытаются опровергнуть этот достоверный факт? Во-первых, они пользуются не возрастными коэффициентами смертности, а данными об общем чисел умерших, пытаясь скрыть потери от «реформ» среди всех умерших, число которых монотонно возрастает в соответствии с общим постарением населения. Во вторых, они анализируют совместно два последовательных процесса – снижение смертности в 1985-1987 гг. в результате антиалкогольной компании и повышение смертности в 1991-1994 гг. вследствие «реформ». Они показывают, что мужские поколения, родившиеся между 1945 г. и 1984 г., и женские поколения, родившиеся между 1945 и 1974 г. (т.е. основные рабочие возраста), от совместного действия этих двух процессов проиграли, остальные (дети и пожилые люди) несколько выиграли. Это говорит только о том, что положительный эффект антиалкогольной компании оказался перекрыт потерями населения в первые годы «реформ», но не может привести к выводу об отрицании этих потерь (подробнее см. в [3]). 
	Из двух указанных ошибок первая - основная. Анализ возрастных коэффициентов – основа изучения демографических процессов. Как отмечено в начале пункта, попытки непосредственно анализировать сводные характеристики порождают ошибки.

Таблица 8.2
Возрастные коэффициенты смертности (число смертей
на 1000 человек) в России в 1991-1998 г. 
Возрастные группы	1991	1994	1998	1994/1991(%)	
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	
Мужчины	
15-19	1,7	2,1	1,9	123	
20-24	2,7	4,0	4,1	148	
25-29	3,5	5,5	4.6	157	
30-34	4,5	7,7	5,8	171	
35-39	5,9	10,6	7,5	180	
40-44	8,0	15,2	10,2	190	
45-49	11,6	20,8	14,4	179	
50-54	16,5	29,1	19,5	176	
55-59	23,3	36,2	28,6	155	
60-64	34,6	51,0	38,1	136	
65-69	47,3	64,2	55,3	136	
70 и старше	104,0	121,4	97,0	116	
Женщины	
15-19	0,7	0,8	0,8	114	
20-24	0,7	1,0	1,0	143	
25-29	0,9	1,3	1,2	143	
30-34	1,1	1,8	1,5	164	
35-39	1,6	2,7	2,0	169	
40-44	2,5	4,2	2,8	168	
45-49	3,8	6,2	4,4	163	
50-54	5,5	9,0	6,4	163	
55-59	8,6	12,3	10,0	143	
60-64	13,6	18,4	14,5	135	
65-69	22,0	27,1	24,1	123	
70 и старше	78,1	89,6	77,5	115	

	Рождаемость. При изучении рождаемости необходимо, во-первых, знать численность женских контингентов (поколений) различных возрастов, во-вторых, иметь возрастные коэффициенты рождаемости, например, число рождений на 1000 женщин соответствующего возраста. 
	Как и при изучении смертности, возможны два подхода к моделированию процесса рождаемости. В первом из них прослеживается судьба женской части поколения. Пусть N1(t0) – численность поколения (число девочек, родившихся в год t0). Число женщин, доживших до k лет, обозначим N(t0)p2(k). (Обратите внимание, что вероятности p2(k) имеют иной смысл, чем при рассмотрении смертности. Они являются аналогом функции распределения, а не плотности.) Число детей, рожденных женщинами этого поколения в k-й год, обозначим  Здесь  - возрастной коэффициент рождаемости. 
	Во втором подходе возрастные коэффициенты рождаемости для всех поколений принимаются равными, причем равными тем, что имеют быть в последний рассматриваемый год (подробнее этот подход расписан выше при обсуждении сводных характеристик смертности). Пусть , k = 1,2,…, - соответствующие возрастные коэффициенты рождаемости, p3(k) - доли женщин, доживших до k лет (на анализируемый год). Пусть случайная величина Y – число детей, рожденных одной конкретной женщиной. Основная сводная характеристика рождаемости – коэффициент суммарной рождаемости, т.е. среднее число рожденных детей на одну женщину, т.е.
.
	В табл. 8.3 приведены коэффициенты суммарной рождаемости по годам с разбивкой на городских и сельских жителей (таблица составлена на основе [3] и данных Росстата). Очевидно, в перспективе (в следующем поколении через 20-30 лет) население будет расти, если в среднем на одну женщину приходится более двух детей, и уменьшаться, если менее двух. Если коэффициент суммарной рождаемости около 2,0, то ситуация является пограничной и неустойчивой.
	Из табл. 8.3 очевидно, что из пограничного состояния 1970 г. страна перешла в область депопуляции (сокращения численности населения), причем ситуация резко ухудшилась в годы «реформ». Обратим внимание на различие между городом и селом. В 1970-1990 гг. сельское (по месту рождения) население увеличивалось, в то время как город в течение всего рассматриваемого периода не обеспечивал воспроизводство населения. Это различие указывает на принципиальную возможность управления демографическими процессами. 

Таблица 8.3
Коэффициенты суммарной рождаемости в России
Годы	Коэффициенты суммарной рождаемости	
	Город	Село	Всего	
1970	1,70	3,38	2,00	
1980	1,71	2,50	1,89	
1990	1,83	2,63	1,89	
1995	1,24	1,84	1,34	
1999	1,07	1,48	1,17	
2000	1,09	1,55	1,19	
2001	1,12	1,56	1,22	
2002	1,19	1,63	1,28	
2003	1,22	1,67	1,32	
2004	1,25	1,66	1,34	
2005	1,20	1,59	1,29	
2006	1,20	1,61	1,30	
2007	1,28	1,80	1,41	
2008	1,37	1,89	1,49	
2009	1,42	1,90	1,54	

	С 1980 по 1990 г. рождаемость выросла как в городе, так и на селе, однако суммарный коэффициент остался прежним. Это объясняется сокращением доли сельского населения и возрастанием доли городского. 
	Миграция. Большое значение в изменении численности населения страны играет миграция. Разность между числом прибывших в страну и числом уехавших называется чистой миграцией. Разность между числом родившихся и числом умерших называется естественным приростом. Общий прирост населения есть сумма естественного прироста и чистой миграции. В табл. 8.4, составленной на основе [3] и данных Росстата, приведены сведения о численности населения России во второй половине ХХ в. и в начале XXI в., а также о компонентах ее изменения (за 1955 -1990 гг. – по пятилеткам, далее – ежегодно). Из нее видно, что чистая миграция составляет заметную часть от изменения численности населения.

Таблица 8.4
Изменение численности населения России
Год	Численность населения в  конце года (тыс. чел.)	Изменение численности населения	
		Общий прирост (тыс. чел.)	В том числе (тыс. чел.)	
			Естественный прирост	Чистая миграция	
1955	112266	9321	9160	161	
1960	120766	8500	9515	-1015	
1965	127189	6423	7067	-644	
1970	130704	3515	4180	-195	
1975	134690	3986	4180	-195	
1980	139028	4338	3730	607	
1985	143835	4807	3939	869	
1990	148543	4707	3649	1058	
1991	148515	241	105	136	
1992	148562	47	-219	266	
1993	148356	-206	-732	526	
1994	148460	104	-874	978	
1995	148292	-168	-822	654	
1996	148029	-263	-776	513	
1997	147802	-226	-740	514	
1998	147539	-263	-692	429	
1999	146890	-649	-919	270	
2000	146304	-586	-949	363	
2001	145649	-654	-933	279	
2002	144964	-686	-917	231	
2003	144168	-795	-888	93	
2004	143474	-694	-793	99	
2005	142753	-721	-847	126	
2006	142221	-533	-687	154	
2007	142009	-212	-470	258	
2008	141904	-105	-362	257	

	Замечание. Демографические данные получают в результате учета населения, проводимого государственными органами. Система учета такова, что прибывшие в страну мигранты в дальнейшем «растворяются» среди коренного населения, смертность и рождаемость среди недавних мигрантов не отделяются от таковых среди коренного населения. Это приводит к тому, что возрастные коэффициенты типа p1(k) рассчитываются с учетом мигрантов. Прослеживание судьбы поколения и нахождение коэффициентов типа p(k) становится невозможным из–за эмиграции части поколения. Если возрастные коэффициенты коренного населения и мигрантов сильно различаются, то искажение итоговых демографических характеристик населения может быть заметным. Однако в российской ситуации начала XXI века указанным различием можно пренебречь.
	Прогнозирование демографической ситуации. Считая возрастные коэффициенты смертности и рождаемости постоянными, можно рассчитать прогнозируемое изменение половозрастной структуры населения (при отсутствии миграции). 
	Обычно прогнозирование проводят, исходя из некоторого числа сценариев развития ситуации. Например, в 2000 г. опубликован официальный прогноз Госкомстата РФ изменения численности структуры населения на 2000 - 2015 гг. [3]. В нем рассмотрено три сценария – оптимистический, вероятный и пессимистический.
	Оптимистический сценарий предполагает экономический рост, повышение уровня жизни, а потому увеличение рождаемости, средней ожидаемой продолжительности предстоящей жизни (СОППЖ), а также достаточно высокую миграционную подвижность. 
	В вероятном сценарии предполагается постепенное улучшение социально-экономической ситуации в России, но гораздо более медленными темпами, чем в оптимистическом сценарии.
	В пессимистическом сценарии стагнация сложившейся экономической ситуации влечет сохранение негативных тенденций в области смертности и миграции и делает маловероятным повышение рождаемости. 
	Динамика коэффициентов суммарной рождаемости приведена в табл. 8.5. Даже для оптимистического сценария невозможен выход на уровень простого воспроизводства. Это связано с накопившимися негативными тенденциями в структуре населения и невозможностью быстрого изменения возрастных коэффициентов рождаемости. 
	 В табл. 8.6 приведены прогнозные значения продолжительности жизни. В вероятном сценарии предполагается выйти на уровень 1960-1990-х гг., в оптимистическом превзойти его. Сравнение с данными табл.8.1 и 8.3 показывает, что реальное развитие демографической ситуации идет по оптимистическому варианту: по состоянию на 2008-2010 гг. рождаемость и в городу, и на селе превышает оптимистический прогноз, продолжителность жизни женщин совпадает с ним, а продолжительность жизни мужчин отстает на 0,6 года.

Таблица 8.5
Среднее число детей на одну женщину
Сценарий	1999	2005	2010	2015	
Пессимистический	Город	1,072	0,946	0,873	0,800	
	Село	1,479	1,223	1,052	0,932	
Вероятный	Город	1,072	1,062	1,131	1,200	
	Село	1,479	1,429	1,382	1,360	
Оптимистический	Город	1,072	1,177	1,388	1,600	
	Село	1,479	1,634	1,711	1,788	

Таблица 8.6
Средняя ожидаемая продолжительность предстоящей жизни, лет
Сценарий	1999	2005	2010	2015	
Пессимистический	Мужчины	59,9	59,7	59,7	59,7	
	Женщины	72,4	72,3	72,3	72,3	
Вероятный	Мужчины	59,9	60,8	61,5	62,3	
	Женщины	72,4	73,0	73,4	73,8	
Оптимистический	Мужчины	59,9	62,0	63,4	64,9	
	Женщины	72,4	73,8	74,6	75,4	

	Труднее всего спрогнозировать будущую миграцию, поскольку она определяется развитием внутриполитической и социально-экономической ситуации во многих странах, связанных с Россией миграционными потоками. Мнение Госкомстата РФ отражено в табл. 8.7. Сравнив с данными табл.8.4, видим, что динамика миграции приближается к оптимистическому варианту.

Таблица 8.7
Прогноз чистой миграции (тыс. человек в год) на 2000-2015 гг.
Сценарий	1999	2005	2010	2015	
Пессимистический	154,6	-0,5	-15,0	-22,1	
Вероятный	154,6	167,1	148,4	133,3	
Оптимистический	154,6	323,2	300,1	278,3	

	Прогноз фактической численности населения России приведен в табл. 8.8. К 2015 г. население уменьшится. По пессимистическому сценарию – на 20,2 миллиона человек по сравнению с 1999 г.; по вероятному – на 11,5 миллиона; по оптимистическому – на 3,1 миллиона. И только для оптимистического варианта намечается небольшой подъем с 2010 г. по 2015 г. (на 0,1 млн. человек). Сравнив с табл.8.4, видим, что численность населения меняется почти по оптимистическому варианту, отставая от него примерно на 1 млн. человек.

Таблица 8.8
Прогноз численности населения России (млн. человек)
Сценарий	1999	2005	2010	2015	
Пессимистический	145,9	139,3	133,0	125,7	
Вероятный	145,9	141,2	137,9	134,4	
Оптимистический	145,9	143,1	142,7	142,8	

	Из приведенных результатов прогнозирования вытекают вполне определенные выводы в области стратегического менеджмента. Сокращение численности населения означает сокращение внутреннего рынка. При более подробных расчетах можно получить прогнозируемую динамику для различных возрастных групп и соответствующие экономические выводы. Например, падение общего числа рождений в 1990-х гг. (в 1,5…2 раза) влечет в дальнейшем сокращение рынка образовательных услуг и рынка труда, а также числа лиц, годных к военной службе (что мы и наблюдаем в 2010 г.). После 2005 г. численность населения в рабочих возрастах начнет быстро снижаться, а доля пенсионеров в численности населения - возрастать, что, очевидно, вызовет трудности в пенсионном обеспечении. 
	Сопоставление прогноза с реальностью показывает, что реальная траектория проходит между вероятным и оптимистическим прогнозами. 
	Обратим внимание на то, что подсчет численности населения страны – сложная задача. По итогам всероссийской переписи 2002 г. численность населения объявлена на 2 миллиона больше, чем показывал текущий учет. В 2009 г. Росстат сообщил, что численность населения следует уменьшить на те же 2 миллиона, следовательно, в октябре 2009 г. в РФ проживает около 139,8 млн. человек.  
	Различные виды прогнозов. При рассмотрении моделей взаимосвязи факторов типа ЖОК мы увидим (глава 9), что при моделировании развития какого-либо социально-экономического процесса целесообразно рассматривать три типа сценариев: «Пассивный», «Активный» и «Цель». Первый из них соответствует случаю, когда не меняются эндогенные параметры (т.е. внешние по отношению к моделируемой системе параметры, обычно параметры управления). Сценарии второго типа соответствуют заданным законам изменения параметров управления. Для сценариев типа «Цель» для заданных целевых ограничений или значений параметров находятся способы управления (правила изменения параметров управления), обеспечивающие оптимальное (в том или ином смысле) достижение цели. 
	В Центре демографии и экологии человека Института народнохозяйственного прогнозирования РАН разработана система сценариев демографических прогнозов на период до 2050 г. [3]. Четыре сценария рассчитаны в предположении нулевой чистой миграции (эндогенными переменными, т.е. переменными управления, являются показатели рождаемости и смертности, а именно, число рождений на одну женщину, средняя продолжительность жизни мужчин и женщин):
	Сценарий 1: низкая рождаемость (1,3 рождения на одну женщину; в 1999 г. в России – 1,17 рождений на одну женщину), высокая смертность (СОППЖ для мужчин – 59,9 лет, для женщин – 72,5 лет, как в 1999 г.).
	Сценарий 2: низкая рождаемость (как в сценарии 1), снижающаяся смертность (СОППЖ растет и к 2050 г. достигает 77,0 лет для мужчин и 83,0 лет для женщин).
	Сценарий 3: растущая рождаемость (к 2050 г. поднимается до 2,0 рождений на одну женщину), высокая смертность (как в 1999 г.).
	Сценарий 4: растущая рождаемость (как в сценарии 3) и снижающая смертность (как в сценарии 2). 
	Сценарий 1 относится к типу «Пассивный», сценарии 2 - 4 – к типу «Активный». Прогноз численности населения приведен в табл. 8.9. Только сценарий 4 соответствует выходу России из демографического тупика – достижению к 2050 г. воспроизводимости населения и повышению средней продолжительности жизни до уровня передовых в этом отношении стран. Однако и в этом случае из-за накопившихся к настоящему моменту проблем населению России предстоит сократиться в ближайшие 50 лет на 33,5 млн. человек, т.е. на 23%. 

Таблица 8.9
Прогноз численности населения России (млн. человек)
Год	Сценарий 1	Сценарий 2	Сценарий 3	Сценарий 4	
2000	145,2	145,2	145,2	145,2	
2025	121,4	128,0	122,2	128,8	
2050	86,5	103,3	94,5	111,7	

	Введем в рассмотрение миграцию как параметр управления, позволяющий достигать те или иные цели. Первая цель – сохранить численность населения России на уровне 2000 г. Значения чистой миграции, необходимые для достижения этой цели, приведены в табл. 8.10 (в предположениях сценариев 1 - 4 о характеристиках рождаемости и смертности).

Таблица 8.10
Среднегодовой миграционный прирост (тыс. человек), 
обеспечивающий сохранение численности населения России
Год/период	Сценарий 1	Сценарий 2	Сценарий 3	Сценарий 4	
2000	214	214	214	214	
2000-2025	1040	738	1002	702	
2025-2050	1712	1066	1263	677	

	Приведенные в табл. 8.10 значения среднегодового миграционного прироста в несколько раз превышают его значение на 2000 г. Динамика среднегодового миграционного прироста в 1990-х гг. (табл. 8.4) показывает, что после всплеска в первые годы после развала СССР наблюдается тенденция к стабилизации этого показателя. Следовательно, нет веских оснований надеяться на то, что за счет сложившегося механизма миграции удастся стабилизировать численность населения России.
	Тем более не удастся обеспечить его увеличение, например, на 0,5% в год (в 1970-1980-х гг. численность населения России росла на 0,6-0,7% в год). Соответствующие ежегодному росту на 0,5% в 2000-2050 гг. значения миграционного прироста приведены в табл. 8.11. Эти значения по сравнению с данными табл. 8.10 выросли примерно в 2 раза. 
	Анализ рассмотренных сценариев типа «Цель» показывают, что для обеспечения сохранения или, тем более, роста численности населения России за счет миграции следует изменить сложившийся механизм миграции. Из табл. 8.11 следует, что за 50 лет чистая миграция должна составить 75-140 миллионов человек. Русская диаспора составляет порядка 30 миллионов человек и может дать не более трети нужного числа мигрантов.  

Таблица 8.11
Среднегодовой миграционный прирост (тыс. человек), дающий прирост численности населения России на 0,5% в год
Год/период	Сценарий 1	Сценарий 2	Сценарий 3	Сценарий 4	
2000	214	214	214	214	
2000-2025	1878	1550	1836	1510	
2025-2050	2825	2028	2268	1542	

	Методы управления демографическими процессами. Государственная власть и общественные движения могут влиять на демографические процессы, т.е. осуществлять управления ими. Среди методов управления можно выделить административно-правовые, экономические, социально-психологические. 
	К административно-правовым относятся, например, правила, регулирующие возможность искусственного прерывания беременности. Исторический опыт показывает, что запрещение абортов, хотя и влечет некоторые отрицательные последствия, в целом приводит к повышению рождаемости. В некоторых странах прибегают к административно-правовым методам сокращения рождаемости. Речь идет, например, о популярной в США идее о принудительной стерилизации безработных, уже имеющих детей.
	К снижению смертности приводит борьба с алкоголизмом и наркоманией. Ранее обсуждалось увеличение средней ожидаемой продолжительности предстоящей жизни в результате антиалкогольной компании 1980-х годов. Законы, регулирующие миграцию и права переселенцев, очевидным образом влияют на численность населения. А иногда, при поощрении миграции лиц определенных возрастных групп, эти законы влияют также на показатели смертности и рождаемости. 
	К экономическим методам управления демографическими процессами относится система пособий на детей, позволяющая в ряде случаев нейтрализовать материальные потери, которые несут семьи при появлении детей (потеря в заработке матери и расходы непосредственно на детей). Весьма эффективны вложения в систему здравоохранения, позволяющие сократить младенческую смертность и продлить жизнь пожилым людям. Необходимо упомянуть расходы на охрану труда и повышение промышленной безопасности, снижающие смертность в рабочих возрастах. Весьма важным является экономическое стимулирование различных форм оздоровления. Ясно, что экономическая поддержка мигрантов (первоначальные «подъемные», приобретение пенсионных прав и др.) способствует росту населения страны. 
	Многообразны социально-психологические методы управления демографическими процессами. Господствующие в обществе взгляды весьма сильно влияют, например, на рождаемость. В традиционном обществе она существенно выше (это наглядно видно при сравнении сельского и городского населения России). Большое влияние (как на рождаемость, так и на смертность) имеет сложившийся в определенный момент времени оптимистический или пессимистический настрой в обществе. Различные движения «за здоровый образ жизни» могут снизить смертность, а терпимость к вредным привычкам – повысить ее. На миграционные процессы сильно влияет отношение масс к иммиграции и эмиграции. Совершенно очевидно, что государство и общественные структуры могут влиять на психологию масс, в частности, через средства массовой информации. 
	Ясно, что управление демографическими процессами должно быть комплексным. Методы управления многообразны, невозможно выделить только один или небольшое число методов в качестве единственно перспективных для применения. Необходимо разрабатывать и реализовывать развернутые программы действий, включающие весьма много конкретных мероприятий. Это могут быть федеральные или региональные программы, программы партий или общественных объединений.
	Управление персоналом на конкретном предприятии также требует разработки моделей движения персонала, напоминающих демографические. Первый этап – прогнозирование этого движения. Кроме рождаемости в женской части коллектива, ухода на пенсию и смертности необходимо учитывать поступление на работу и увольнения, а также движение кадров внутри предприятия. 
	На основе прогнозирования, в том числе с помощью сценариев типа «Активный» и «Цель», проводится процесс принятия решений, в частности, планирование, а в процессе осуществления плана – контроль. На современном этапе весьма актуален контроллинг в области демографического менеджмента.

8.4. Статистические модели движения товарных потоков 

	Термин «логистика» происходит от фр. «loger» (размещение, расквартирование), которое употребляется в военной терминологии для определения движения военных грузов, их складирования и размещения, а также для описания процесса размещения и расквартирования военных подразделений. В настоящее время термин «логистика» широко используется в деловом мире и определяет теорию и практику движения сырья, материалов, комплектующих изделий, производственных, трудовых и финансовых ресурсов, готовой продукции от их источников к потребителям.
	ЛОГИСТИКА – наука о планировании, управлении и контроле за движением материальных, информационных и финансовых ресурсов в различных производственно-экономических системах. Предмет логистики - комплексное управление всеми материальными и нематериальными потоками в таких системах. Новизна концепции логистики в области управления промышленными системами состоит во всестороннем подходе к вопросам движения материальных благ в процессе производства и управления. Логистическая система должна охватывать и согласовывать процессы производства, закупок и распределения продукции, а также быть основой при стратегическом планировании и прогнозировании. Итак, логистика – это экономическая дисциплина, занимающаяся оптимальной организацией материальных, финансовых и информационных потоков. 
	Одна из основных частей логистики – теория управления запасами. Сколько товара держать на складе? Много – будут омертвляться оборотные средства, вложенные в запас. Мало – слишком часто надо будет заниматься получением новых партий товара и нести соответствующие расходы. Значит, надо рассчитать и использовать оптимальный размер запаса. А для этого необходимо построить соответствующую математическую модель. 
	Управление запасами (другими словами, материально-техническое снабжение) – неотъемлемая часть работы фирм и организаций. Речь идет о запасах сырья, топлива, материалов, инструментов, комплектующих изделий, полуфабрикатов, готовой продукции на промышленном (или сельскохозяйственном) предприятии, о запасах товаров на оптовых базах, складах магазинов, на рабочих местах продавцов, наконец, у потребителей. Запасы постоянно расходуются и пополняются по тем или иным правилам, принятым на предприятии. Оптимизация этих правил, т.е. оптимальное управление запасами, дает большой экономический эффект. 
	Математическая теория управления запасами является крупной областью экономико-математических исследований. Предложенная еще в 1915 г. Ф.Харрисом классическая модель теории управления запасами является одним из наиболее простых и наглядных примеров применения математического аппарата для принятия решений в экономической области. Эту модель обычно  называют моделью Вильсона, так как она получила известность после публикации работы Р.Г. Вильсона в 1934 г. 
	Формула оптимального размера заказа, полученная в модели Вильсона, широко применяется на различных этапах производства и распределения продукции, поскольку оказывается практически полезной для принятия решений при управлении запасами, в частности, приносящей заметный экономический эффект [3, 4]. Рассмотрим эту модель подробнее.
	Классическая модель управления запасами. Пусть y(t) – величина запаса некоторого товара на складе в момент времени t, t>0. Дефицит не допускается, т.е. y(t) > 0 при всех t. Товар пользуется равномерным спросом с интенсивностью μ, т.е. за интервал времени Δt со склада извлекается и поступает потребителям часть запаса величиной μΔt. В моменты времени t0 = 0, t1, t2,… пополняется запас на складе – приходят поставки величиной Q0, Q1, Q2,… соответственно. Таким образом, изменение во времени величины запаса y(t) товара на складе изображается ломаной зубчатой линией (рис. 8.1), состоящей из наклонных и вертикальных звеньев, причем наклонные отрезки параллельны.  

         y
			       Q2
                       Q1				   Q3
       Q0

         0                t1               t2                       t3                            t
Рис. 8.1. График изменения величины запаса на складе

	Таким образом, в момент ti величина запаса на складе y(t) скачком увеличивается на Qi. Следовательно, функция y(t) имеет разрывы в точках t1, t2,… Для определенности будем считать, что эта функция непрерывна справа. 
	Пусть s – плата за хранение единицы товара в течение единицы времени. Поскольку можно считать, что величина запаса y(t) не меняется в течение интервала времени (t; t+dt), где dt – дифференциал, т.е. бесконечно малая, то плата за хранение всего запаса в течение этого интервала времени равна sy(t)dt. Следовательно, затраты за хранение в течение интервала времени [0;T), где T – интервал планирования, пропорциональны (с коэффициентом пропорциональности s) площади под графиком уровня запаса на складе y(t) и равны 

	Пусть g – плата за доставку одной партии товара. 
	Примем для простоты, что она не зависит от размера поставки. Позже покажем, что если эта плата равна g+g1Q, где Q – размер поставки, то оптимальный план поставки – тот же, что и при отсутствии линейного члена. Будет проанализирована и более сложная модель, в которой предусмотрена скидка с ростом поставки, приводящая к выражению g+g1Q+g2Q2 для платы за доставку одной партии товара размером Q.
	Пусть n(T) – количество поставок, пришедших в интервале [0;T). При этом включаем поставку в момент t = 0 и не включаем поставку в момент t = T (если такая поставка происходит). Тогда суммарные издержки на доставку товара равны gn(T). Следовательно, общие издержки (затраты, расходы) за время T равны 

	Запись F(T;y) = F(y(t), 0<t<T) означает, что общие издержки зависят от значений функции y=y(t) при всех 0<t<T. Символ у обозначает функцию как целое. Другими словами, область определения F(T;y) при фиксированном горизонте планирования T – не множество чисел, а множество функций.
	Общие издержки, очевидно, возрастают при росте горизонта планирования Т. Поэтому часто используют средние издержки, приходящиеся на единицу времени. Средние издержки за время Т равны

	Поскольку товар отпускается со склада с постоянной интенсивностью (скоростью), дефицит не допускается, то доходы от работы склада пропорциональны горизонту планирования, средние доходы постоянны. Следовательно, максимизация прибыли эквивалентна минимизации издержек или средних издержек. 
	Если задать моменты прихода поставок и величины партий, то будет полностью определена функция y=y(t) при всех 0<t<T. Верно и обратное утверждение – фиксация функции y=y(t), 0<t<T, рассматриваемого вида (рис. 8.1) полностью определяет моменты прихода поставок и величины партий. И то, и другое будем называть планом поставок или планом работы системы управления запасами. Для ее оптимизации необходимо выбрать моменты времени t0 = 0, t1, t2,… пополнения запаса на складе и размеры поставляемых партий товара Q0, Q1, Q2,… так, чтобы минимизировать средние издержки fT(y) при фиксированном Т. 
	Модель производственной ситуации (т.е. работы склада) описывается четырьмя параметрами - μ (интенсивность спроса), s (стоимость хранения единицы продукции в течение единицы времени), g (стоимость доставки партии товара), Т (горизонт планирования).
	Поставленная задача оптимизации работы склада интересна тем, что неизвестно число 2n(T)-1 параметров, определяющих план поставок. Поэтому ее решение не может быть проведено с помощью стандартных методов теории оптимизации. 
	Решим эту задачу в три этапа. На первом установим, что оптимальный план следует искать среди тех планов, у которых все зубцы доходят до оси абсцисс, т.е. запас равен 0 в момент доставки очередной партии. Цель второго этапа – доказать, что все зубцы должны быть одной и той же высоты. Наконец, на третьем находим оптимальный размер поставки.
	Оптимальный план. Найдем наилучший план поставок. План, для которого в моменты доставок очередных партий запас равен 0 (т.е. y(t) = 0), назовем напряженным. 
	Теорема 8.1. Для любого плана поставок, не являющегося напряженным, можно указать напряженный план, для которого средние издержки меньше.
	Покажем, как можно от произвольного плана перейти к напряженному плану, уменьшив при этом издержки. Пусть с течением времени при приближении к моменту t1 прихода поставки Q1 уровень запаса не стремится к 0, а лишь уменьшается до положительного значения y(t1-) (где знак «минус» означает предел слева функции y(t) в точке t1). Тогда рассмотрим новый план поставок с теми же моментами поставок и их величинами, за исключением величин поставок в моменты t = 0 и t = t1. А именно, заменим Q0 на Q01 = Q0 - y(t1-), а Q1 на Q11 = Q0 + y(t1-). Тогда график уровня запаса на складе параллельно сдвинется вниз на интервале (0; t1), достигнув 0 в t1, и не изменится правее точки t1. Следовательно, издержки по доставке партий не изменятся, а издержки по хранению уменьшатся на величину, пропорциональную (с коэффициентом пропорциональности s) площади параллелограмма, образованного прежним и новым положениями графика уровня запаса на интервале (0; t1) (см. рис. 8.2).

       y
                                      Q2
       Q0           Q1				   Q3
      Q01 

         0                t1               t2                       t3                          t
Рис. 8.2. Первый шаг перехода к напряженному плану

	Итак, в результате первого шага перехода получен план, в котором крайний слева зубец достигает оси абсцисс. Следующий шаг проводится аналогично, только момент времени t = 0 заменяется на t = t1. Если есть такая возможность, второе наклонное звено графика уровня запаса на складе параллельно сдвигается вниз, достигая в крайней правой точке t2 оси абсцисс. 
	Аналогично поступаем со всеми остальными зубцами, двигаясь слева направо. В результате получаем напряженный план. На каждом шагу издержки по хранению либо сокращались, либо оставались прежними (если соответствующее звено графика не опускалось вниз). Следовательно, для полученного в результате описанного преобразования напряженного плана издержки по хранению меньше, чем для исходного плана, либо равны (если исходный план уже являлся напряженным). Теорема 8.1 доказана.
	Из теоремы 8.1 следует, что оптимальный план следует искать только среди напряженных планов. Другими словами, план, не являющийся напряженным, не может быть оптимальным.
	Теорема 8.2. Среди напряженных планов с фиксированным числом поставок минимальные издержки имеет тот, в котором все интервалы между поставками равны. 
	При фиксированном числе поставок затраты на доставку партий не меняются. Следовательно, достаточно минимизировать затраты на хранение.
	Для напряженных планов размеры поставок однозначно определяются с помощью интервалов между поставками:

Действительно, очередная поставка величиной Qi-1 совпадает с размером запаса на складе в момент ti-1, расходуется с интенсивностью μ единиц товара в одну единицу времени и полностью исчерпывается к моменту ti  прихода следующей поставки.
	Для напряженного плана издержки по хранению равны

где Δi = ti - ti-1, i = 1, 2, ..., n(T), tn(T) = T. Ясно, что Δi, i = 1, 2, ..., n(T), - произвольные неотрицательные числа, в сумме составляющие Т. Следовательно, для минимизации издержек среди напряженных планов с фиксированным числом поставок достаточно решить задачу оптимизации

где n = n(T).
	Полученная задача оптимизации формально никак не связана с логистикой, она является чисто математической. Для ее решения целесообразно ввести новые переменные αi = Δi -T/n, i = 1, 2, ..., n. Тогда

Поскольку Δi = T/n + αi, то 

следовательно, с учетом предыдущего равенства имеем

Сумма квадратов всегда неотрицательна. Она достигает минимума, равного 0, когда все переменные равны 0, т.е. при α1 = α2 = ... = αn = 0. Тогда 

При этих значениях Δi выполнены все ограничения оптимизационной задачи. Итак, теорема 8.2 доказано. 
	Для плана с равными интервалами между поставками все партии товара имеют одинаковый объем. Для такого плана издержки по хранению равны

Средние издержки (на единицу времени) таковы:

Итак, минимизация средних издержек – это задача дискретной оптимизации. На третьем этапе построения оптимального плана необходимо найти натуральное число n(T) – самое выгодное число поставок.
	Поскольку к моменту Т запас товара должен быть израсходован, то общий объем поставок за время T должен совпадать с общим объемом спроса, следовательно, равняться μТ. Справедливо балансовое соотношение (аналог закона Ломоносова-Лавуазье сохранения массы при химических реакциях):

Из балансового соотношения следует, что

Средние издержки (на единицу времени) можно выразить как функцию размера партии Q:
		(8.4)
Задача состоит в минимизации f1(Q) по Q. При этом возможная величина поставки принимает дискретные значения, поскольку

	Изучим функцию f1(Q), определенную при Q > 0. При приближении к 0 она ведет себя как гипербола, при росте аргумента – как линейная функция. Производная имеет вид
 		(8.5)
Производная монотонно возрастает, поэтому рассматриваемая функция имеет единственный минимум в точке, в которой производная равна 0, т.е. при 
		(8.6)
Получена знаменитая в теории управления запасами «формула квадратного корня». 
	В литературе иногда без всяких комментариев рекомендуют использовать напряженный план, в котором размеры всех поставляемых партий равны Q0. К сожалению, получаемый таким путем план почти всегда не является оптимальным, т.е. популярная рекомендация неверна или не вполне корректна. Дело в том, что почти всегда 

	Как же найти оптимальный план? Всегда можно указать неотрицательное целое число n такое, что
		(8.7)
	Теорема 8.3. Решением задачи оптимизации

является либо Q1, либо Q2.
	Действительно, из всех возможных объемов партии

часть лежит правее Q0, из них наименьшим является Q2, а часть лежит левее Q0, из них наибольшим является Q1. Для построения оптимального плана обратим внимание на то, что производная (8.7) отрицательна левее Q0 и положительна правее Q0, следовательно, функция средних издержек f1(Q) убывает левее Q0 и возрастает правее Q0. Значит, минимум по

достигается при Q = Q2, а минимум по 

 - при Q = Q1  Последнее утверждение эквивалентно заключению теоремы 8.3, что и завершает ее доказательство. 
	Итак, алгоритм построения оптимального плана таков.
	1. Найти Q0  по формуле квадратного корня (8.6). 
	2. Найти n из условия (8.7).
	3. Рассчитать f1(Q) по формуле (8.6) для Q = Q1 и Q = Q2, где Q1 и Q2 определены соотношением (8.7). 
	4. Наименьшее из двух чисел f1(Q1) и f1(Q2) является искомым минимумом, а то из Q1 и Q2, на котором достигается минимум – решением задачи оптимизации. Обозначим его Qopt. 
	Итак, оптимальный план поставки – это напряженный план, в котором объемы всех поставок равны Qopt.
	Замечание. Если f1(Q1) = f1(Q2), то решение задачи оптимизации состоит из двух точек Q1 и Q2. В этом частном случае существует два оптимальных плана.
	Пример 1. На складе хранится некоторая продукция, пользующаяся равномерным спросом. За 1 день со склада извлекается 5 т продукции. Плата за хранение 1 т. продукции в день – 50 руб. Плата на доставку одной партии – 980 руб. Горизонт планирования – 10 дней. Найти оптимальный план поставок.
	В рассматриваемом случае μ = 5 (т/день), s = 50 (руб./т.день), g = 980 (руб./партия), Т = 10 (дней). По формуле (8.6) рассчитываем 

Множество допустимых значений для Q имеет вид

Следовательно, Q1 = 12,5 и Q2 = 16,67. Первое значение определяет напряженный план с четырьмя одинаковыми зубцами, а второе – с тремя. Поскольку

то 

и

Поскольку f1(Q1) < f1(Q2), то Qopt = Q1 = 12,5. Итак, оптимальным является напряженный план с четырьмя зубцами. 
	Как уже отмечалось, часто рекомендуют применять план поставок с Q=Q0. Каков при этом проигрыш по сравнению с оптимальным планом? 
	Для плана с Q=Q0 интервал между поставками составляет Q0/μ = 14/5 = 2,8 дня. Следовательно, партии придут в моменты t0 = 0; t1= 2,8; t2 = 5,6; t3 = 8,4. Следующая партия должна была бы придти уже за пределами горизонта планирования Т = 10, в момент t4 = 11,2. Таким образом, график уровня запаса на складе в пределах горизонта планирования состоит из трех полных зубцов и одного не полного. К моменту Т = 10 пройдет 10 – 8,4 = 1,6 дня с момента последней поставки, значит, со склада будет извлечено 5×1,6 = 8 т продукции и останется 14 – 8 = 6 т. План с Q=Q0 не является напряженным, а потому не является оптимальным для горизонта планирования Т =10.
	Подсчитаем общие издержки в плане с Q = Q0. Площадь под графиком уровня запаса на складе равна сумме площадей трех треугольников и трапеции. Площадь треугольника равна (14×2,8)/2 = 19,6, трех треугольников – 58,8. Основания трапеции параллельны оси ординат и равны значениям уровня запаса в моменты времени t3 = 8,4 и Т =10, т.е. величинам 14 и 6 соответственно. Высота трапеции лежит на оси абсцисс и равна 10 – 8,4 = 1,6, а потому площадь трапеции есть [(14+6)×1,6]/2 = 16. Следовательно, площадь под графиком равна 58,8 + 16 = 74,8, а плата за хранение составляет 50×74,8 = 3740 руб.
	За 10 дней доставлены 4 партии товара (в моменты t0 = 0; t1= 2,8; t2 = 5,6; t3 = 8,4). Следовательно, затраты на доставку равны 4×980 = 3920 руб. Общие издержки за 10 дней составляют 3740 + 3920 = 7660 руб., а средние издержки – 766 руб. Они больше средних издержек в оптимальном плане в 766/704,5 = 1,087 раза, т.е. на 8,7%. 
	Отметим, что 

т.е. меньше, чем в оптимальном плане. Таким образом, из-за дискретности множества допустимых значений средние издержки возросли на 4,5 руб., т.e. на 0,64%. 
	Оптимальный размер партии (12,5 т) отличается от Q0 = 14 т на 1,5 т, т.е. Qopt/Q0 = 0,89 – различие на 11%. Достаточно большое различие объемов поставок привело к пренебрежимо малому изменению функции f1(Q). Это объясняется тем, что в точке Q0 функция f1(Q) достигает минимума, а потому ее производная в этой точке равна 0. 
	Оба слагаемых в f1(Q0) равны между собой. Случайно ли это? Покажем, что нет. Действительно,

Таким образом, составляющие средних издержек, порожденные различными причинами, уравниваются между собой. 
	 Средние издержки в плане с Q=Q0 равны . Интервал между поставками при этом равен
.
Издержки в течение одного интервала между поставками таковы:
,
при этом половина (т.е. g) приходится на оплату доставки партии, а половина – на хранение товара. 
	Асимптотически оптимальный план. Из проведенных рассуждений ясно, что напряженный план с Q=Q0 является оптимальным тогда и только тогда, когда горизонт планирования Т приходится на начало очередного зубца, т.е.  
		(8.8)
Для всех остальных возможных горизонтов планирования Т этот план не является оптимальным. Оптимальным будет напряженный план с другим размером поставки. Для дальнейшего весьма существенно, что при изменении горизонта планирования Т оптимальный план меняется на всем интервале [0; T].
	Как происходит это изменение? При малых Т делается лишь одна поставка (при Т = 0), график уровня запаса на складе состоит из одного зубца. При увеличении Т размер зубца плавно увеличивается. В некоторый момент Т(1) происходит переход от одного зубца к двум. В этот момент оптимальны сразу два плана поставки – с одним зубцом и с двумя. При переходе к планам с двумя зубцами размер зубца скачком уменьшается. При дальнейшем увеличении горизонта планирования оптимальный план описывается графиком с двумя одинаковыми зубцами, размер которых плавно растет. Далее в момент Т(2) становится оптимальным план с тремя зубцами, размер которых в этот момент скачком уменьшается (в компенсацию за увеличение числа скачков). И т.д.
	Проблема в том, что в реальной экономической ситуации выбор горизонта планирования Т весьма субъективен. Возникает вопрос, какой план разумно использовать, если горизонт планирования не известен заранее. Проблема горизонта планирования возникает не только в логистике. Она – общая для любого перспективного планирования, поэтому весьма важна для стратегического менеджмента [3, 4]. Для решения проблемы горизонта планирования необходимо использование конкретной модели принятия решения, в рассматриваемом случае – классической модели управления запасами.
	Ответ можно указать, если горизонт планирования является достаточно большим. Оказывается, можно использовать план, в котором все размеры поставок равны Q0. Для него уровень запаса на складе описывается функцией y0(t), 0 < t < + ∞, состоящей из зубцов высоты Q0. Предлагается пользоваться планом, являющимся сужением этого плана на интервал [0; T). Другими словами, предлагается на интервале [0; T) использовать начальный отрезок этого плана. Он состоит из некоторого количества треугольных зубцов, а последний участок графика, описываемый трапецией, соответствует тому, что последняя поставка для почти всех горизонтов планирования не будет израсходована до конца. Такой план иногда называют планом Вильсона [3, 4].
	Ясно, что этот план не будет оптимальным (для всех Т, кроме заданных формулой (8.10)). Действительно, план Вильсона можно улучшить, уменьшив объем последней поставки. Однако у него есть то полезное качество, что при изменении горизонта планирования его начальный отрезок не меняется. Действительно, планы поставок для горизонтов планирования Т1 и Т2, определенные с помощью функции y0(t), 0 < t < + ∞, задающей уровень запасов на складе, совпадают на интервале [0; min {Т1, Т2}).
	Определение 8.1. Асимптотически оптимальным планом называется план поставок – функция  такая, что

где yopt(T) – оптимальный план на интервале [0; T).
	В соответствии с определениями и обозначениями, введенными в начале раздела,  - средние издержки за время Т для плана yopt(T), определенного на интервале [0; T), а f(T;y) - средние издержки за время Т для плана .
	Теорема 8.4. План y = y0 является асимптотически оптимальным.
	Таким образом, для достаточно больших горизонтов планирования Т планы y0(t), 0 < t < T, все зубцы у которых имеют высоту Q0, имеют издержки, приближающиеся к минимальным. Следовательно, эти планы Вильсона, являющиеся сужениями одной и той же функции  на интервалы [0; T) при различных Т, можно использовать одновременно при всех достаточно больших Т. 
	Замечание. Согласно [3, 4] решение проблемы горизонта планирования состоит в использовании асимптотически оптимальных планов, которые близки (по издержкам) к оптимальным планам сразу при всех достаточно больших Т.
	Доказательство теоремы 8.4. По определению оптимального плана
		(8.9)
Найдем нижнюю границу для рассматриваемого отношения. При фиксированном горизонте планирования Т можно указать неотрицательное целое число n такое, что 

Так как Tf(T; yopt(T)) и - общие издержки на интервалах [0; Т) и [0; nQ0/µ) соответственно при использовании оптимального на [0; Т) плана, то, очевидно, поскольку второй интервала – часть первого (или совпадает с ним), первые издержки больше вторых, т.е. 
Tf(T; yopt(T)) > .
	Далее, т.к. на интервале (0; nQ0/µ), включающем целое число периодов плана у0, оптимальным является начальный отрезок этого плана у0(nQ0/µ), то 
 > .
	В правой части последнего неравенства стоит  (здесь использована формула для минимального значения средних издержек f(T; y) при Т, кратном nQ0/µ). Из проведенных рассуждений вытекает, что
Tf(T; yopt(T)) > .		(8.10)
	Для общих издержек на интервалах [0; Т) и [0; (n + 1)Q0/µ) при использовании плана у0, очевидно, справедливо следующее неравенство
Tf(T; y0(T)) < .
Следовательно,
Tf(T; y0(T)) < .		(8.11)
	Из неравенств (8.10) и (8.11) вытекает, что  

	Так как  при Т → ∞, то, учитывая неравенство (8.9), из последнего неравенства выводим справедливость заключения теоремы 8.4. Таким образом, асимптотическая оптимальность плана у0  доказана.
	При небольшом Т средние издержки в плане Вильсона могут существенно превышать средние издержки в оптимальном плане. Превышение вызвано скачками функции f(T; y0(T)), связанными с переходами через моменты прихода очередных поставок (и увеличением общих издержек скачком на величину платы за доставку партии). Величину превышения средних издержек в плане Вильсона по сравнению с оптимальными планами можно рассчитать.  
	Пусть горизонт планирования T = tk + ε, где tk – момент прихода (k+1)-й поставки в плане Вильсона, ε > 0. Тогда, как можно доказать, 

	Таким образом, затраты в плане Вильсона являются минимальными (относительно оптимального плана) при T = tk, k = 1, 2, … , где tk – моменты прихода поставок. Напомним, что план Вильсона является оптимальным при указанных значениях Т. Однако при Т, бесконечно близком к tk, но превосходящем tk, затраты увеличиваются по сравнению с затратами в оптимальном плане в {1+1/(2k)} раз. При дальнейшем возрастании Т отношение издержек (средних или общих) в плане Вильсона к аналогичным издержкам в оптимальном плане постепенно уменьшается, приближаясь к 1 при приближении (снизу) к моменту tk+1 прихода следующей поставки. А там – новый скачок, но уже на меньшую величину {1+1/(2k+2)}. И т.д.
	Сразу после прихода первой поставки отношение затрат составляет 1,5 (превышение на 50%), после прихода второй – 1,25 (превышение на 25%), третьей – 1,167 (превышение на 16,7%), четвертой – 1,125 (превышение на 12,5%), пятой – 1,1 (превышение на 10%), и т.д. Таким образом, при небольших горизонтах планирования Т превышение затрат может быть значительным, план Вильсона отнюдь не оптимальный. Но чем больше горизонт планирования, тем отклонение меньше. Уже после сотой поставки оно не превышает 0,5%. 
	Влияние отклонений от оптимального объема партии. В реальных производственных и управленческих ситуациях часто приходится принимать решения об использовании объемов партии, отличных от оптимальной величины Q0, рассчитанной по формуле квадратного корня (8.6). Например, при ограниченной емкости склада или для обеспечения полной загрузки транспортных средств большой вместимости. Это возможно также в ситуации, когда величина партии измеряется в целых числах (штучный товар) или даже в десятках, дюжинах, упаковках, ящиках, контейнерах  и т.д., а величина Q0 не удовлетворяет этому требованию и, следовательно, не может быть непосредственно использована в качестве объема поставки.   
	Поэтому необходимо уметь вычислять возрастание средних издержек при использовании напряженного плана с одинаковыми поставками объема Q, отличного от Q0, по сравнению со средними издержками в оптимальном плане. Будем сравнивать средние издержки за целое число периодов. Как показано выше, они имеют вид
,
где Q- объем партии. Тогда
		(8.12)
Это тождество нетрудно проверить с помощью простых алгебраических преобразований.
	Пример 2. Пусть используется план с Q = 0,9 Q0. Тогда

Таким образом, изменение объема партии на 10% привело к увеличению средних издержек лишь на 0,56%.
	Пример 3. Пусть используемое значение объема поставки Q отличается от оптимального не более чем на 30%. На сколько могут возрасти издержки?
	Из формулы (8.12) вытекает, что максимальное возрастание издержек будет в случае Q = 0,7 Q0. Тогда

Таким образом, издержки могут возрасти самое большее на 6,43%.
	На первый взгляд удивительно, что сравнительно большое отклонение значения переменной Q от оптимального (на 10%) приводит к пренебрежимо малому возрастанию значения оптимизируемой функции. Этот факт имеет большое прикладное значение. Из него следует, что область «почти оптимальных» значений параметра весьма обширна, следовательно, из нее можно выбирать для практического использования те или иные значения, исходя из иных принципов. Можно, например, минимизировать какую-либо иную целевую функцию, тем самым решая задачу многокритериальной оптимизации. Можно «вписаться» в действующую дискретную систему возможных значений параметров.
	Важное замечание 1. Обширность области «почти оптимальных» значений параметра – общее свойство оптимальных решений, получаемых путем минимизации гладких функций. Действительно, пусть необходимо минимизировать некоторую функцию g(x), трижды дифференцируемую. Пусть минимум достигается в точке х0. Справедливо разложение Тейлора-Маклорена 

Однако в х0 выполнено необходимое условие экстремума (в данном случае – минимума)

Следовательно, с точностью до бесконечно малых более высокого порядка (по сравнению с (х-х0)2) справедливо равенство
 		(8.13)
Это соотношение показывает, что приращение значений минимизируемой функции – бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с приращением независимой переменной. Если 
х = х0 + ε, 
то 
g(x) - g(x0) = Сε2, 
где

	Вернемся к классической модели управления запасами. Для нее надо рассматривать f1(Q) в роли g(x). С помощью соотношения (8.13) заключаем, что

с точностью до бесконечно малых более высокого порядка. Вычислим вторую производную f1(Q). Поскольку

то 

Теперь заметим, что 

Следовательно, 

с точностью до бесконечно малых более высокого порядка. Отличие этой формулы от точной формулы (8.12) состоит только в том, что Q в знаменателе одной из дробей заменено на Q0. 
	Устойчивость выводов в математической модели. Вполне ясно, что рассматриваемая классическая модель управления запасами, как и любые иные экономико-математические модели конкретных экономических явлений и процессов, является лишь приближением к реальности. Приближение может быть более точным или менее точным, но никогда не может полностью уловить все черты реальности. С целью повышения адекватности получаемых на основе экономико-математической модели выводов целесообразно изучить устойчивость этих выводов по отношению к допустимым отклонениям исходных данных и предпосылок модели [4]. Выше изучено изменение средних издержек при малых отклонениях величины поставки. 
	Предположим теперь, что вместо истинных значений параметров µ, g, s нам известны лишь их приближенные значения µ* = µ + Δµ, g* = g + Δg, s* = s + Δs. Мы применяем план Вильсона, но с искаженным объемом партии

Это приводит к возрастанию средних издержек. Согласно формулам (8.12) – (8.13) возрастание пропорционально (ΔQ)2 (с точностью до бесконечно малых более высокого порядка). Здесь 

Выделим в ΔQ главный линейный член:
		(8.14)
(с точностью до бесконечно малых более высокого порядка).
	Величину Δµ можно определить по фактическим данным о спросе, оценив величину отклонения реального спроса от линейного приближения [4], например, с помощью математического аппарата линейного регрессионного анализа (раздел 6.3). Для определения значений параметров g и s необходимо проведение специальных достаточно трудоемких исследований. К тому же существуют различные методики расчета этих параметров, результаты расчетов по которым не совпадают. Поэтому естественно оценить разумную точность определения g и s по известной точности определения µ. Для этого воспользуемся «принципом уравнивания погрешностей», предложенным в [4] (см. разд.8.2).
	Важное замечание 2. Принцип уравнивания погрешностей состоит в том, что погрешности различной природы должны вносить примерно одинаковый вклад в общую погрешность математической модели. Так, определение рационального объема выборки в статистике интервальных данных основано на уравнивании влияния метрологической и статистической погрешностей [3]. Согласно подходу [4] выбор числа градаций в социологических анкетах целесообразно проводить на основе уравнивания погрешностей квантования и неопределенности в ответах респондентов. В классической модели управления запасами целесообразно уравнять влияние неточностей в определении параметров на отклонение целевой функции от оптимума. 
	Выберем Δg и Δs так, чтобы увеличение затрат, вызванное неточностью определения g и s, было таким же, как и вызванное неточностью определения µ. С точностью до бесконечно малых более высокого порядка это означает, что необходимо уравнять между собой три слагаемых в правой части (8.14). После сокращения общего множителя получаем, что согласно принципу уравнивания погрешностей должно быть справедливо соотношение
		 (8.15)
Таким образом, относительные погрешности определения параметров модели должны совпадать.
	В соотношении (8.15) используются истинные значения параметров, которые неизвестны. Поэтому целесообразно вначале вместо параметров использовать их грубые оценки, из (8.15) определить их примерную точность, затем провести исследования, уточняющие значения параметров. Эту процедуру естественно повторять до тех пор, пока не произойдет некоторое уравнивание относительных погрешностей определения параметров модели.
	Модель с дефицитом. Классическая модель управления запасами может быть обобщена в различных направлениях. Одно из наиболее естественных обобщений – введение в модель возможности дефицита.
	В рассматриваемой до сих пор модели предполагалось, что дефицит не допускается, т.е. некоторое количество товара на складе всегда есть. Но, может быть, выгоднее сэкономить на расходах по хранению запаса, допустив небольшой дефицит – потребность в товаре в некоторые интервалы времени может остаться неудовлетворенной?
	Как подсчитать убытки от дефицита, в частности, от потери доверия потребителя? Будем считать, что если нет товара, владеющая складом организация платит штраф – каждый день пропорционально нехватке. По приходе очередной поставки все накопленные требования сразу же удовлетворяются.
	Сохраним все предположения и обозначения рассматриваемой до сих пор модели, кроме отсутствия дефицита. Неудовлетворенный спрос будем рассматривать как отрицательный запас. График изменения величины запаса на складе изображен на рис. 8.3.

         y
			       Q2
       Q0           Q1				   Q3

         0                  t1             t2                         t3                            t

Рис. 8.3. График изменения величины запаса на складе 
при возможности дефицита

	Очевидно, рис. 8.1 и рис. 8.3 отличаются только тем, что на последнем рисунке зубцы графика могут опускаться ниже оси абсцисс, что соответствует сдвигу графика рис. 8.1 как единого целого вниз вдоль оси ординат.
	Пусть h – плата за нехватку единицы товара в единицу времени( например, в день). Тогда средние издержки за время Т определяются формулой

где χ(А) – индикатор множества А, т.е. χ(y(t)>0) = 1 при y(t)>0 и χ(y(t)>0)=0 при y(t)<0, в то время как χ(y(t)<0) = 1 при y(t)<0 и χ(y(t)<0) = 0 при y(t)>0. Таким образом, площадь под частью графика уровня запаса, лежащей выше оси абсцисс, берется с множителем s, а площадь между осью абсцисс и частью графика y(t), соответствующей отрицательным значениям запаса, берется с заметно большим по величине множителем h.
	Для модели с дефицитом оптимальный план находится почти по той же схеме, что и для модели без дефицита. Сначала фиксируем моменты поставок и находим при этом условии оптимальные размеры поставок. Фактически речь идет о выборе уровня запаса Y в момент прихода очередной поставки (рис. 8.4). 

                             Y 

Рис. 8.4. Первый шаг построения оптимального плана 
в модели с дефицитом.

	Увеличивая или уменьшая Y, можно увеличивать или уменьшать площадь треугольника над осью абсцисс (учитываемую с коэффициентом s) и соответственно уменьшать или увеличивать площадь треугольника под осью абсцисс (учитываемую с коэффициентом h), добиваясь минимизации взвешенной суммы этих площадей. Все элементы прямоугольных треугольников на рис.4 выражаются через Y, заданный интервал времени Δ между поставками и параметры модели. Минимизация соответствующего квадратного трехчлена дает оптимальное значение

При этом минимальная сумма затрат на хранение и издержек, вызванных дефицитом, равна

	Второй шаг нахождения оптимального плана в модели с дефицитом полностью совпадает с аналогичным рассуждением в исходной модели. Фиксируется число поставок, и с помощью варьирования размеров интервалов между поставками минимизируется целевой функционал. Поскольку сумма квадратов некоторого числа переменных при заданной их сумме достигает минимума, когда все эти переменные равны между собой, то оптимальным планом является план, у которого все зубцы одинаковы, т.е. уровень запаса в момент прихода очередной поставки – всегда один и тот же. При этом все объемы поставок, за исключением начальной (нулевой), равны между собой:
		(8.16)
	На третьем этапе среди указанного однопараметрического дискретного множества планов находим оптимальный. Как и для модели без дефицита, в качестве ориентира используется план с размером поставки, определяемой по формуле квадратного корня,

Для горизонтов планирования Т, кратных Q0(μ, g, s, h)/µ, оптимальным является план типа (8.16) с Q = Q0(μ, g, s, h). Для всех остальных горизонтов планирования, как и в случае модели без дефицита, необходимо найти неотрицательное целое число n такое, что
,
а затем, сравнив издержки для Q = Q1 и Q = Q2, объявить оптимальным то из этих двух значений, для которого издержки меньше. 
	Отметим, что модель без дефицита является предельным случаем для модели с дефицитом при безграничном возрастании платы за дефицит. В частности,

	Как и в случае модели без дефицита, план с объемом поставки, определяемой по формуле квадратного корня, Q = Q0(μ, g, s, h), является асимптотически оптимальным.
	Система моделей на основе модели Вильсона. Классическая модель теории управления запасами, называемая также моделью Вильсона, допускает различные обобщения. 
	Одно из таких обобщений – модель с конечной скоростью поставки υ, т.е. модель, в которой за время Δt поставляется продукция объемом υΔt (при наличии в то же время постоянного спроса с интенсивностью µ, причем считается, что υ>µ). Таким образом, в этой модели поставка происходит не мгновенно, а в течение некоторого интервала времени, причем объем поставляемой продукции линейно зависит от времени. Такие поставки будем называть линейными с интенсивностью υ.
	Другое обобщение классической модели связано с обобщением функции от объема запаса, задающей плату за хранение. В исходной модели считалось, что расходы за хранение пропорциональны объему продукции на складе. Естественно считать, что эти расходы должны содержать постоянный член а, не зависящий от объема продукции на складе (расходы на содержание самого склада, оплату работников и т.д.). Однако оптимальный план при таком обобщении не изменится. Действительно, в формуле для издержек добавится постоянный член а, и положение минимума не изменится при его добавлении. 
	Однако в модели с дефицитом ситуация иная. Затраты на хранение возникают только при наличии товара на складе, и издержки этого вида вполне естественно разделить на постоянные и переменные (пропорциональные объему запаса на складе).
	Аналогично издержки, вызванные дефицитом, вполне естественно разделить на постоянные (вызванные самим фактом дефицита) и переменные (пропорциональные величине дефицита).
	В классической модели плата за доставку партии не зависит от объема партии. То есть здесь используются только постоянные издержки. Представляется вполне естественным ввести линейный член, соответствующий возрастанию платы за доставку в зависимости от величины партии (переменные издержки). (Ниже будет показано, что добавление этого члена не влияет на решение задачи оптимизации и вид оптимального плана.) Дальнейшее обобщение – введение скидок в зависимости от величины партии. Это приводит к выражению платы за доставку в виде квадратного трехчлена от объема партии.
	Можно рассматривать одновременно несколько обобщений. В результате получаем систему моделей на основе классической модели  управления запасами, состоящую из 36 моделей [3]. Каждая из них может быть описана набором четырех чисел (а(1), а(2), а(3), а(4)). Каждое из этих чисел соответствует одному из рассмотренных выше видов обобщений исходной модели.
	При этом а(1) = 0, если поставки мгновенные, и а(1) = 1, если поставки  являются линейными с интенсивностью υ, причем υ>µ.
	Если плата за хранение продукции объемом у в течение единицы времени равна sy, то а(2) = 0. Если же учтены постоянные (при наличии товара на складе) издержки, т.е. указанная плата равна sy+a, a>0, то а(2) =1.
	Если плата за нехватку продукции объемом у в течение единицы времени бесконечна (т.е. дефицит не допускается), то а(3) = 0. Если эта плата равна hy (рассмотренная выше модель с дефицитом), то а(3)=1. Если же вводятся также постоянные издержки (плата за само наличие дефицита), т.е. плата за нехватку продукции объемом у в течение единицы времени равна hy + b, b > 0, то а(3) = 2.
	Наконец, а(4) = 0, если плата за доставку партии продукции объемом Q равна g. Если учитываются переменные издержки, т.е. эта плата равна g + g1Q, то а(4) = 1. Если же в модели учитываются скидки на объем партии, т.е. если плата за доставку партии продукции объемом Q равна g + g1Q + g2Q2, то а(4) = 2. 
	Для а(1) имеется два возможных значения, для а(2) – тоже два, для а(3) – три возможных значения, для а(4) – тоже три. Всего имеется 2×2×3×3 = 36 возможных комбинаций, т.е. 36 возможных моделей. Классическая модель управления запасами описывается набором (0, 0, 0, 0), а модель с дефицитом – набором (0, 0, 1, 0). 
	Рассмотрим наиболее обобщенную модель рассматриваемой системы. Она описывается набором (1, 1, 2, 2). Можно показать, что для нее справедливы основные утверждения, касающиеся классической модели и модели с дефицитом. Однако «формула квадратного корня» имеет более сложный вид, а именно,
.
В частности, план с Q =  является асимптотически оптимальным.
	Формула для  позволяет обнаружить ряд любопытных эффектов. Так, в ней не участвует параметр g1. Другими словами, при любом изменении этого параметра оптимальный объем поставки не меняется. Если запас пополняется весьма быстро по сравнению со спросом, т.е. υ>>µ, то соответствующий множитель в «формуле квадратного корня» исчезает, и для моделей с а(1) = 0 получаем более простую формулу 

Дальнейшее упрощение получаем при a = b. Это равенство означает, что постоянные (в другой терминологии – фиксированные) платежи за хранение и в связи с дефицитом совпадают, например, равны 0. Если последнее утверждение справедливо, то

	Предположим теперь, что при доставке партии отсутствуют скидки (или надбавки) за размер партии. Тогда «формула квадратного корня» упрощается дальше и приобретает вид

Эта формула была получена выше при рассмотрении модели с дефицитом. При безграничном возрастании h получаем формулу Вильсона для классической модели управления запасами:

Новое в последних двух формулах – наличие в левой части параметра g1, не участвующего в формировании объема партии. 
	Важное замечание 3. Модели конкретных экономических (и не только) процессов и явлений обычно не встречаются и не изучаются поодиночке. Обычно имеется совокупность моделей, объединенных в систему, переходящих друг в друга при тех или иных предельных переходах. Часто более простые модели используются для конкретных расчетов, в то время как более сложные применяются для изучения точности, достигаемой с помощью этих более простых моделей, согласно подходу, развитому в [3, 4].
	О практическом применении классической модели управления запасами. Для отработки методики практического использования классической модели управления запасами был проведен эксперимент на снабженческо-сбытовой базе, а именно, на Реутовской химбазе (Московская область). Собраны и обработаны данные по одному из товаров, распространяемых этой организацией в большом объеме, - по кальцинированной соде. В качестве исходной информации о спросе использовались данные об ежедневном отпуске кальцинированной соды потребителям, зафиксированные на карточках складского учета. Рассчитана величина затрат на хранение как соответствующая доля общей суммы издержек по содержанию базы, а также расходы на доставку новых партий. Для определения расходов на хранение запасов использованы данные о заработной плате складского персонала (включая основную и дополнительную заработная плата, начисления на зарплату), расходах на содержание охраны, эксплуатацию складских зданий и сооружений, расходах по текущему ремонту, по таре, на приемку, хранение, упаковку и реализацию товаров, о величине амортизационных отчислений и др. Для расчета расходов на доставку новых партий товара использованы данные о расходах по завозу, о плате за пользование вагонами и контейнерами сверх установленных норм, расходах на содержание и эксплуатацию подъемно-транспортных механизмов, о заработной плате работников, занятых в процессе доставки товара, канцелярских, почтовых и телеграфных расходах и др. 
	Полезным оказалось вытекающее из «принципа уравнивания погрешностей» (соотношение (8.15)). Интенсивность спроса µ и погрешность определения этого параметра найдены методом наименьших квадратов. Это дало возможность установить величину относительной точности определения параметров модели, вытекающих из величин погрешностей исходных данных для спроса. Параметры классической модели управления запасами g и s оценивались двумя способами – по методике Всесоюзного института материально-технического снабжения и по методике Центрального экономико-математического института АН СССР. Для каждой из методик с помощью соотношения (8.15) были определены абсолютные погрешности определения параметров g и s. Оказалось, что для каждой из методик интервалы (s – Δs, s + Δs) и (g – Δg, g + Δg) таковы, что числа, рассчитанные по альтернативной методике, попадают внутрь этих интервалов. Это означает, что для определения параметров g и s можно пользоваться любой из указанных методик (в пределах точности расчетов, заданной наблюдаемыми колебаниями спроса).
	Вызванное отклонениями параметров модели в допустимых пределах максимальное относительное увеличение суммарных затрат на доставку и хранение продукции не превосходило 26% (колебания по кварталам от 22,5 до 25,95%). Фактические издержки почти в 3 раза превышали оптимальные (в зависимости от квартала фактические издержки составляли от 260 до 349% от оптимального уровня). Следовательно, внедрение модели Вильсона в практику управления запасами на Реутовской химбазе дает возможность снизить издержки, связанные с доставкой и хранением кальцинированной соды не менее чем в 2 раза [3]. 
	Таким образом, несмотря на то, что параметры модели определены неточно и отклонения значений параметров (от тех значений, по которым рассчитывается оптимальный план поставок) приводят к некоторому увеличению затрат по сравнению с затратами в оптимальном плане, использование рассматриваемой модели для реального управления запасами конкретной продукции может дать значительный экономический эффект. Аналогичным является положение со многими другими моделями управления запасами. Это утверждение подтверждает и зарубежный опыт, проанализированный в монографии [4].
	Двухуровневая модель управления запасами. Создание любой информационной (в более старой терминологии - автоматизированной) системы управления материально-техническим снабжением (в другой терминологии – процессами логистики), базирующейся на комплексе экономико-математических моделей, должно включать в себя разработку (в качестве блоков) моделей деятельности отдельных баз (складов). Поэтому большое внимание уделяется проблеме построения оптимальной политики управления запасами на базе (складе). Оптимизационную экономико-математическую теорию удается развивать в основном для однопродуктовых моделей.
	Двухуровневая модель управления запасами – это однопродуктовая модель работы склада, в которой заявки потребителей удовлетворяются мгновенно. При отсутствии продукта заявки учитываются. Как только запас на складе опускается до уровня R < 0, мгновенно поступает партия товара величиной Q и запас на складе оказывается равным R+Q>0. Как и в рассмотренном выше варианте классической модели Вильсона с дефицитом, издержки складываются из издержек по хранению, издержек от дефицита и издержек по доставке. Средние издержки за время Т имеют вид

где y(t) – уровень запаса на складе, χ(А) – индикатор множества А, т.е. χ(y(t)>0) = 1 при y(t)>0 и χ(y(t)>0)=0 при y(t)<0, в то время как χ(y(t)<0) = 1 при y(t)<0 и χ(y(t)<0) = 0 при y(t)>0, параметры модели s, h, g имеют тот же смысл, что и выше. Оптимизация состоит в определении значений нижнего уровня R и верхнего уровня R+Q, минимизирующих средние издержки.
	В 1950-х гг. американский исследователь К.Эрроу (в будущем – нобелевский лауреат по экономике) с сотрудниками показал, что в ряде случаев оптимальная политика управления запасами – это политика, основанная на двухуровневой модели. Этот принципиально важный теоретический результат стимулировал развитие исследований свойств двухуровневой модели. Однако окончательная теория была построена только в конце 1970-х годов в монографии [4]. 
	Важными являются характеристики потока заявок. Пусть τ(Т) – число заявок за время Т. Эта величина предполагается случайной. С прикладной точки зрения вполне естественно предположить, что математическое ожидание Мτ(Т) конечно. Накопленный спрос за время Т имеет вид
,
где Xj – величина j-ой заявки. 
	Предполагается, что X1, X2, … , Xn, … - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием MX1. Таким образом, накопленный спрос за время Т является суммой случайного числа случайных слагаемых. Накопленный спрос определяет уровень запаса на складе, поэтому математический аппарат изучения двухуровневой модели – это предельная теория сумм случайного числа случайных слагаемых.
	При некоторых условиях регулярности (выполняющихся для реальных систем управления запасами) в [4] найдены оптимальные (для горизонта планирования Т) значения нижнего и верхнего уровней: 
,
.
	Часто можно принять, что число поступающих заявок обладает некоторой равномерностью. Например, вполне естественно принять, что 

при некотором λ. Здесь λ – параметр, описывающий предельную (т.е. асимптотическую при ) интенсивность спроса. Тогда асимптотически оптимальные уровни имеют вид:
,
.
Отметим, что асимптотическое распределение уровня запаса на складе – равномерное на отрезке [R, R+Q].
	Модель планирования размеров поставок на базу (склад). В двухуровневой модели накопленный спрос в любой момент времени - случайная величина. Это не всегда соответствует экономической реальности. Достаточно часто в соответствии с заключенными договорами размеры поставок на базу и объемы запрашиваемой потребителями продукции определены до начала года (с разбивкой по кварталам или по месяцам) и затем не меняются. Однако поставщик имеет право отгружать продукцию, а потребители – забирать ее в течение всего квартала (или месяца).
	Опишем соответствующую однопродуктовую модель [3, 4]. Пусть интервал планирования разбит на m периодов, не обязательно одинаковых по продолжительности. В течение каждого периода приходит на базу одна поставка. В i-й период ее величина равна Hi, а момент поступления – случайная величина τ(i) с функцией распределения G(i,t), 0 < t < 1, где t – отношение времени, прошедшего с начала i-го периода, к продолжительности его, i = 1, 2, …, m. 
	В i-й период имеется n(i) потребителей, получающих с базы строго определенное количество продукта, c(1,i), c(2,i), …, c(n(i),i) соответственно. Моменты поступления требований от потребителей – случайные величины δ(i,j), j = 1, 2, …, n(i), i = 1, 2, …, m, с функциями распределения F(i,j,t), 0<t<1, где t – отношение времени, прошедшего после начала соответствующего периода, к продолжительности этого периода. Если в момент прихода требования на базе имеется достаточное количество продукта, то он отпускается мгновенно. Если продукта нет, потребителю придется ждать очередной поставки. Если продукта недостаточно, то весь оставшийся товар отпускается сейчас же, а оставшуюся часть приходится ждать. 
	В течение i-го периода, i = 1, 2, …, m, все моменты поступления товара и требований τ(i), δ(i,j), j = 1, 2, …, n(i), предполагаются независимыми в совокупности. Потери, как обычно, складываются из издержек по хранению и от дефицита (расходы на доставку партий заданы заранее, т.е. постоянны, а потому их можно не включать в минимизируемый функционал). Издержки по хранению предполагаются пропорциональными времени хранения и величине запаса с коэффициентами пропорциональности s(i), i = 1, 2, …, m. Издержки от дефицита складываются из потерь у каждого из потребителей; они пропорциональны величине и длительности дефицита с коэффициентами пропорциональности h(i,j), j = 1, 2, …, n(i), i = 1, 2, …, m. 
	Пусть х(0) – начальный запас, х(i) – количество продукта на базе в конце i-го периода, i = 1, 2, …, m.  Пусть S(i) = {s(i), c(j,i), h(i,j), G(i,t), F(i,j,t), 0<t<1, j = 1, 2, …, n(i)} – исходные данные модели в i-й период. Как легко видеть, математическое ожидание издержек за i-й период зависит только от х(i-1), х(i) и S(i). Для краткости обозначим его через f(х(i-1), х(i), S(i)). Тогда математическое ожидание издержек за m периодов равно
Z(m) = f(х(0), х(1), S(1)) + f(х(1), х(2), S(2)) +…
+ f(х(i-1), х(i), S(i)) +    + f(х(m-1), х(m), S(m)).
Необходимо минимизировать Z(m) = Z(х(0), х(1), …, х(i), …, х(m)) по совокупности переменных. Таким образом, необходимо найти оптимальные значения уровней запаса на складе в начале и в конце периодов. Это эквивалентно определению оптимальных размеров поставок по периодам и начального запаса. Ограничения рассматриваемой оптимизационной задачи выписаны в [4]. 
	Вначале была сделана попытка рассматривать задачу минимизации Z(m) как задачу динамического программирования и решать ее типовыми методами. Однако вычислительных мощностей оказалось недостаточно для выполнения расчетов. Тогда нам удалось показать, что функция (m+1)-го переменного Z(m) в действительности является суммой (m+1) функции одного переменного. Действительно,
f(х(i-1), х(i), S(i)) = f1 (х(i-1), х(i), S(i)) + f2 (х(i-1), х(i), S(i)),
где f1(х(i-1), х(i), S(i)) – математическое ожидание затрат, произведенных до прихода очередной поставки, f2(х(i-1), х(i), S(i)) – математическое ожидание затрат после поступления поставки. 
	Ясно, что f1(х(i-1), х(i), S(i)) определяется запасом на начало периода и спросом до прихода поставки, но не зависит от запаса на конец периода, т.е. от х(i). Таким образом, можно записать, что 
f1(х(i-1), х(i), S(i)) ≡ f1(х(i-1), S(i)).
	Пусть Hi – объем поставки на склад в i-й период. Сразу же после прихода поставки запас у на складе равен
y(τ(i)) = x(i-1) + Hi – ξ(τ(i)) = x(i) +  – ξ(τ(i)),
где ξ(τ(i)) – накопленный с начала периода спрос. Поскольку ξ(τ(i)) не зависит от x(i-1), то и f2(х(i-1), х(i), S(i)) не зависит от x(i-1). Итак, 
f2(х(i-1), х(i), S(i)) ≡ f2(х(i), S(i)).
	Следовательно, минимизируемая функция имеет вид

При этом ограничения наложены на каждую переменную x(i) по отдельности [4]. Ясно, что задача минимизации Z(m) распадается на m+1 задачу минимизации функций одной переменной:
f1(х(0), S(1)) → min,
f2(х(i), S(i)) + f1(х(i), S(i+1)) → min, 		(8.17)
f2(х(m), S(m)) → min
(ограничения не указаны). Следовательно, x(k) зависит только от исходных данных смежных периодов S(k) и S(k+1) и остается неизменным при любом изменении S(i), i ≠ k, i ≠ k+1. Из указанного разложения задачи многомерной оптимизации на ряд задач одномерной оптимизации вытекает также, что при планировании на m(1) и m(2) периодов совпадают оптимальные значения начального запаса и поставок за первые min{m(1), m(2)} -1 периодов. В частном случае стационарного режима S(i)= S, i= 1, 2, …, m, оптимальный план имеет вид {a, b, b, …, b, …, b, c}, где a – решение первой из указанных в (8.17) задач, b – решение второй задачи и c – третьей. 
	Переход к задачам (8.17) не только позволяет решить исходную задачу минимизации (напомним, что для минимизации задачи в исходной форме не хватало вычислительных мощностей), но также получить весьма важный для экономической интерпретации вывод о независимости оптимальных значений поставок и начального запаса от горизонта планирования m. 
	Важное замечание 4. Рассмотренная модель дает хороший пример пользы математического анализа оптимизационной задачи при принятии решений. Такой анализ позволяет решать задачу не стандартными методами, требующими больших вычислительных ресурсов, а с помощью специально разработанных алгоритмов, учитывающих специфику задачи и позволяющих весьма существенно сократить вычисления. Плата за экономию вычислительных ресурсов – необходимость квалифицированного труда специалистов по экономико-математическим методам и прикладной математике.
	В настоящее время логистика – одна из экономических дисциплин, весьма развитая как в теоретическом, так и в практическом отношении. В ней рассматривается масса конкретных моделей управления запасами. Из перспективных направлений назовем использование случайных множеств в моделях логистики. Моделирование задач логистики с целью нахождение оптимальных решений выше было продемонстрировано на примерах системы моделей, исходящих из классической модели Вильсона, двухуровневой модели, модели оптимизации объемов поставок на базу (склад). Этот перечень не охватывает даже малой доли математических моделей логистических процессов. Поскольку в реальных процессах движения материальных финансовых и информационных потоков всегда присутствует неопределенность, большое значение для логистики имеют вероятностно-статистические модели [3, 4].

8.5. Статистические модели в истории 

	В разделе рассмотрены статистические модели и методы анализа текстовой информации, находящейся в исторических хрониках (т. е. любых повествованиях об исторических событиях, расположенных в порядке их следования по годам). Здесь цель анализа исторических данных - установление моментов времени, когда происходили те или иные события, т.е. построение научно обоснованной хронологии. Рассматриваемые статистические модели и методы нацелены на выявление хроник, рассказывающих об одних и тех же событиях (так называемых «дубликатов»).
	Постановка задачи. Если вдумываться в факты, сообщаемые в посвященных истории сочинениях, то возникают недоуменные вопросы. Пожалуй, основной из них - как могли погибнуть великие древние цивилизации и наступить «темные века» раннего средневековья, когда достижения предыдущих столетий были практически полностью забыты?
	Другой интересный вопрос - как осознать появление «Эпох Возрождения» (Италия, Египет), когда через полторы-две тысячи лет повторяются основные черты эпохи - язык, одежда, литературный стиль. Например, нам сообщают, что сочинения на латыни достигли высокого литературного уровня в Древнем Риме. Читаем - действительно, это так. Затем в средние века уровень владения языком упал, латынь стала «варварской». Никаких литературных опусов, корявые перечни и записки. И вдруг - снова расцвет классической латыни - в века итальянского Возрождения. 
	Сопоставим с историей нашей страны. Фактически современная русская культура начинается около двухсот лет назад - с Пушкина, первого поэта, и Карамзина, первого историка. Все, что было до этого, уже трудно воспринимать. Фактически нужен перевод на современный литературный язык. А если отступить еще на 100-200 лет вглубь времен, то чтение превращается в расшифровку текста в буквальном смысле слова. И не только у нас. Язык Шекспира за 400 лет тоже достаточно сильно оторвался от современного английского языка. Можно ли поверить, что мы вдруг перейдем на язык V в. н. э.? Или хотя бы на язык «Слова о полку Игореве»? Можно ли поверить, что мы будем одеваться так, как в Древней Руси? Ответ очевиден. Но как же тогда быть с итальянским Возрождением? 
	Для того, чтобы поставить ряд недоуменных вопросов, нет необходимости быть историком. Достаточно тщательно сопоставить страницы распространенных учебников. Это сделал, например, чемпион мира по шахматам Гарри Каспаров. Его размышления помещены в качестве предисловия к монографии [8].
	На недоуменные вопросы должны быть даны ответы. Историческая наука продолжает развиваться. И один из видов ее интеллектуальных инструментов - статистические модели и методы.
	Откуда мы знаем, когда происходили древние события? Всем рассказывали в школе о событиях, которые произошли тысячи лет назад. А откуда такая уверенность, что, например, битва при Марафоне между греками и персами была именно в 490 г. до н.э.?
	Очевидно, есть три основные вида источников знаний о древней истории: старинные тексты, остатки материальной культуры и - психологически самое важное! - сложившаяся традиция. Обсудим их.
	Древние тексты требуют критического анализа. Их не всегда легко перевести на современный язык. Более того, многие тексты не удается полностью расшифровать. Они отнюдь не всегда точны и беспристрастны. Например, отражают точку зрения победившей стороны. И совершенно ясно, что современник Марафонской битвы не может ее дату отсчитывать от Рождества Христова, которое - по традиционной хронологии - будет позже примерно на 500 лет! Очевидно, эта дата - 490 г. до н.э. - поставлена теми, кто составлял глобальную хронологию, а не современниками. А составители могли ошибаться. Могли и фальсифицировать даты, если это было кому-то выгодно. Сказанное касается и даты создания самого «древнего текста».
	На археологических остатках тоже не написано, к какому времени они относятся. Можно указать верхний слой раскопок, средний, нижний, то есть выяснить, что из найденного в данном месте относится к более раннему времени, а что к более позднему. Уже при сопоставлении с раскопками в других местах возникают проблемы: похоже или не похоже, можно отнести к одному и тому же времени или нет. Тут часто решает традиция. 
	Бесспорно совершенно, что конкретную дату добытых археологами предметов в подавляющем большинстве случаев установить невозможно. Это утверждение пытались поставить под сомнение, ссылаясь на различные естественнонаучные методы датировки. Наиболее известным таким методом является радиоуглеродный анализ. К сожалению, его погрешности велики (плюс-минус 1000 лет!). Выяснилось, что все известные естественнонаучные методы датировки практически бесполезны на том отрезке истории человечества, о котором сохранились письменные источники (подробнее см. монографии академика РАН А.Т. Фоменко и его сотрудников).
	Сложившаяся традиция - огромная сила. Вспомним, как она появилась. Около 200 лет назад император России дал задание одному из лучших литераторов подготовить изложение истории России для широкого читателя. А широкий читатель тогда - несколько тысяч дворян и лиц духовного звания, с вкраплением отдельных разночинцев. Раньше исторические тексты были, как мы сказали бы теперь, секретными документами, хотя время от времени и выпускались сочинения по истории от имени Татищева и Ломоносова, почему-то после смерти авторов.
	И появилась «История» Карамзина. И одновременно была создана сеть гимназий во всех губернских городах, другие учебные заведения. Во всех преподавалась российская история - по учебникам на основе сочинений Карамзина. Так и пошло. Иногда менялись акценты, особенно в 20-е годы ХХ в., но фактическая основа не менялась.
	Традиция преподавания всеобщей и российской истории в нашей стране, с одной стороны, молода - ей не более 200 лет. С другой стороны, за это время сменилось примерно 8 поколений (считая по 25 лет на поколение – переход от отцов к сыновьям), а этого вполне достаточно, чтобы традиционная хронология стала выглядеть единственно возможной.
	Пример возможности ошибочной датировки. Несколько лет назад автор этой книги убедился, насколько трудно восстановить правильную последовательность событий. Надо было перенести свой архив с старого компьютера «Макинтош» на новый РС Pentium. Всего-то около десяти тысяч файлов. Среди них были «гнезда», посвященные подготовке одного и того же документа (книги, статьи, доклада или отчета) - наборы файлов под сходными названиями и со схожим содержанием, отличающиеся лишь некоторыми деталями - исправлениями и дополнениями. К сожалению, я не всегда уничтожал промежуточные версии. Впрочем, почему к сожалению? Иногда окончательную версию приходилось сокращать, и ряд нужных соображений оставался только в промежуточном тексте. 
	Архив был перенесен с помощью копирования файлов на дискеты и обмена дискетами между компьютерами. Обратите внимание, что после копирования файлов с дискет на Pentium даты создания файлов изменились - теперь в машинных описаниях файлов хранились даты их появления на РС, а не первоначального создания на «Макинтоше». И вот пришел день, когда понадобилось обратиться к одному из «гнезд», чтобы отредактировать статью в соответствии с рецензией, пришедшей из редакции журнала. Просмотрел «гнездо» - нашел два текста с одинаковым названием. Объемы близки. В «свойствах» файлов значится, что они созданы одновременно - в тот самый день, когда я копировал их с дискет на РС. Информация о дате последнего изменения файлов помочь не могла - при переносе файлов между двумя различными платформами они подвергаются специальной конвертации, и тем самым изменяются в тот же день и час, когда и переносятся. Какой же текст окончательный, а какой предварительный? Так и не смог определить. Стал работать с одним из них. И, видимо, ошибся. Думаю так, поскольку в компьютерном тексте были опечатки, исправленные в варианте статьи, побывавшем в редакции. 
	Таким образом, в 2000 г. я не смог понять, какой из двух компьютерных текстов окончательный, а какой является лишь заготовкой, - при всех имеющихся в программном обеспечении средствах для определения даты создания. Насколько же труднее было сравнивать тексты хроник пятьсот лет назад!  
	Предположим теперь, что кто-то захочет составить собрание моих сочинений на основе памяти компьютера. Перед ним сразу встанет проблема «гнезд», в которых находятся последовательные версии одного и того же документа, имеющие одну и ту же дату создания и изменения. Лучше всего было бы найти окончательную версию и включить ее в собрание сочинений, а остальные проигнорировать. Но это может быть нелегким делом, ведь я сам, автор документа, не могу указать окончательную версию, по крайней мере быстро. Возникает желание опубликовать все версии. Кстати, именно так я поступил при переносе архива. Ведь я не стал проводить отбор, а отложил проблему и перенес все файлы. 
	Предположим теперь, что публикатор упорядочит файлы не по «гнездам», а по какому-либо иному признаку - по названиям, по объему или как-либо еще. И вот мы получаем сборник текстов, некоторые из которых близки по смыслу. А именно, близки те, что «произошли» из одного «гнезда». Но читатель-то не знает, какие тексты имеют общее происхождение, а какие - нет! Поэтому он, скорее всего, подумает, что у автора много раз возрождался интерес к одной и той же теме, автор, так сказать, переживал «периоды возрождения». И при составлении данного учебника пришлось бороться с повторами, которые возникли из-за того, что одни и те же проблемы обсуждались в разных текстах-первоисточниках, статьях и докладах, написанных автором учебника.
	Таким образом, проблемы построения правильной хронологии легко промоделировать на примере типовых сложностей рядового пользователя компьютера. 
	Сложившаяся традиция: истоки. Объективный анализ первоисточников показывает, что ныне принятая версия всеобщей хронологии исторических событий была сформулирована сравнительно недавно - лишь в начале XVII в. Это - период «смуты» на Руси. А известная всем нам со школы история России подготовлена немецкими специалистами при российском императорском дворе еще на полтораста лет позже - в XVIII в. Недаром она была представлена Карамзину для изложения популярным языком лишь двести лет назад. За подробностями отошлем к многочисленным публикациям группы академика РАН А.Т. Фоменко.
	Конечно, ныне принятая хронология готовилась долго, столетиями. Примерно за триста лет, в XIV - XVI вв. западноевропейскими хронологами была проведена огромная работа, в основных чертах завершенная И.Скалигером (1540 - 1609) и Д.Петавиусом (1583 - 1652). Необходимо было сопоставить между собой многочисленные хроники, написанные на разных языках, относящиеся к различным государствам, пользующимися своими собственными системами отсчета времени (от начала очередного царствования, от основания Рима, от первых олимпийских игр, и т.д.). Результат (назовем его хронологией Скалигера) - в наших учебниках.
	Могли ли быть допущены ошибки при построении хронологии Скалигера? Конечно, могли, причем, по крайней мер, по двум различным причинам. Первая состоит в ошибочной датировке хроник, в неумении различить хроники-дубликаты, говорящие об одних и тех же событиях. Вторая - в сознательном внесении искажений с целью идеологического обоснования тех или иных положений. Например, работа по хронологии шла под патронатом католической церкви, которой было выгодно «удревнить» историю Италии, тем самым поставить ее выше «молодой» Руси. Это - типичный пример информационной войны, которая в средневековье велась не менее интенсивно, чем сейчас, хотя и затрагивала, прежде всего, элиту.
	Сложившаяся традиция: критика. Хронология Скалигера сразу же стала подвергаться критике. Одна из причин - противоречия между данными истории и астрономии. В исторических сочинениях под определенными датами описываются астрономические явления - затмения, расположение планет среди созвездий и т.п. Астрономия - точная наука, и ее методами можно рассчитать возможные даты тех событий, о которых идет речь в исторической хронике. Иногда эти даты несовместимы. Тогда естественным является желание исправить хронологию, перенеся событие в тот момент времени, когда оно астрономически возможно. А за этим событием «тянутся» все с ним связанные. 
	Наиболее известными критиками хронологии Скалигера являются великий физик и математик Исаак Ньютон (1642-1727) и выдающийся русский ученый-энциклопедист Николай Александрович Морозов (1854-1946), почетный академик АН СССР. В семитомном издании «Христос» (подзаголовок - «История человеческой культуры в естественнонаучном освещении»), выпущенном в 1924-1932 гг., Н.А.Морозов выдвинул и частично обосновал гипотезу о том, что хронология Скалигера искусственно растянута, удлинена по сравнению с подлинной историей. Он обнаружил «повторы в истории», указал на древние хроники, описывающие одни и те же события, но датированные при конструировании скалигеровской хронологии разными эпохами, которые считаются сегодня отделенными друг от друга сотнями и тысячами лет. 
	Работы И.Ньютона и Н.А.Морозова (и многих иных, менее нам известных исследователей - де Арсилла, Ж.Гардуина, Р.Балдауфа, Э.Джонсона и др.) никто не смог опровергнуть. О них предпочли забыть. Их замалчивают, а если человек слишком известен, как Исаак Ньютон - вскользь говорят как о заблуждениях великого ума. 
	Во второй половине ХХ в. появилась возможность применить современные статистические методы, основанные на использовании мощных компьютеров. В 1970-е гг. были получены основные результаты нового направления исторической науки - статистической хронологии. В течение следующего десятилетия, в 1980-е гг., специалисты по прикладной статистике неоднократно и подробно обсуждали новые математические методы анализа летописей и других исторических источников, разработанные группой академика РАН А.Т. Фоменко. Затем с начала 1990-х гг. начали публиковаться монографии (их уже несколько десятков), для широкого круга читателей описывающая результаты применения этих методов (многие из монографий и статей А.Т. Фоменко и его сотрудников представлены в открытом доступе на официальном сайте научного направления «Новая хронология» http://chronologia.org – http://chronologia.su).
	В трудах научного коллектива под руководством академика РАН А.Т. Фоменко (Москвоский государственный университет им. М.В. Ломоносова) восстановлены основные черты реальной хронологии. Можно, конечно, называть новую хронологию гипотезой, но, во всяком случае, эта гипотеза более обоснована, чем альтернативная, даваемая в стандартных учебниках. Новая компьютерная математико-статистическая хронология всеобщей и российской истории, построенная группой академика РАН А.Т. Фоменко, оказалась полезной и для обсуждения современных экономических и политических проблем взаимоотношений России и Запада в XXI в.
	Компьютерный анализ исторических текстов. Группа А.Т. Фоменко разработала и применила новые статистические методы анализа исторических текстов (хроник). Эти методы основаны на интенсивном использовании компьютерных технологий, которых, конечно, не было ни у И. Ньютона, ни у Н.А. Морозова. Именно из-за необходимости проводить обширные вычисления И. Ньютон и Н.А. Морозов не смогли проанализировать весь хронологический материал. Они были вынуждены ограничиться отдельными расчетами и на их основе формулировать свои предположения и выводы. 
	Обработка текстов проводилась объективными (формальными) методами - любые другие исследователи, воспользовавшись теми же методиками, получат точно такие же результаты. Тем самым их работа носит строгий научный характер. Она восстанавливает классическое понимание хронологии как раздела прикладной математики. И именно современные информационные технологии, позволяющие проделать огромный объем расчетов за достаточно короткое время, позволили применить эти объективные методы и получить результаты.
	Объект изучения - существующие в настоящее время исторические хроники, описывающие события год за годом. Типичная хроника - древнерусская летопись. Современный учебник истории - это тоже хроника. Каждую из его глав можно рассматривать как отдельную хронику. Одна из наиболее известных хроник - та, что составляет хронологическую канву Библии. 
	Каждую хронику можно разбить на фрагменты - более короткие хроники. Основная идея в хронологии, используемая группой А.Т. Фоменко, состоит в том, что некоторые фрагменты, привязанные в хронологии Скалигера к различным эпохам, на самом деле описывают одни и те же события. Их вслед за А.Т. Фоменко будем называть дубликатами. Коротко рассматриваемую идею можно сформулировать так: в хронологии есть дубликаты. 
	О существовании дубликатов в истории Древнего Рима (в классическом изложении, т.е. по Скалигеру) писал Н.А. Морозов. Он указывал их явно. Так что новизны в идее поиска дубликатов нет. Достижение группы А.Т. Фоменко состоит, во-первых, в том, что были предложены статистические (т.е. формально-математические) методы поиска дубликатов и, во-вторых, в том, что с помощью компьютеров был обсчитан весь массив имеющихся хроник.
	Основная математико-статистическая идея группы А.Т. Фоменко состоит в формальном введении того или иного расстояния (меры похожести) в формальном же пространстве, описывающем возможные варианты фрагментов исторических хроник (использованные ими расстояния будут кратко рассмотрены ниже).
	Поясним эту математическую фразу. Сначала конструируется некоторое математическое пространство, в котором лежат математические образы фрагментов хроник. Это - отнюдь не элементарная операция, поскольку А.Т. Фоменко стремится учесть возможные варианты фрагментов, ошибки переписчиков, например, пропуск в хронике того или иного правителя, и т.п. В результате образ фрагмента - это не точка, а скорее облако точек, сконцентрированное в определенном месте пространства. Затем вводится расстояние (в математическом смысле) или показатель близости, похожести (или различия) между образами фрагментов. Поясним: предлагается способ расчета некоторого показателя f(a,b) для любых двух образов фрагментов a и b, показывающего степень их похожести: если этот показатель мал, то фрагменты a и b похожи, если велик, то существенно отличаются. В нескольких методиках показатель f(a,b) не является коммутативным: f(a,b) не совпадает с f(b,a). Чтобы не усложнять изложение, будем говорить о расстояниях (как известно, большинство авторов считает, что расстояние коммутативно: f(a,b) = f(b,a) для любых a,b). 
	Следующий шаг - интенсивное применение компьютеров для сплошной обработки всего массива образов фрагментов хроник, сформированного на предыдущем шаге. Цель обработки массива - выделение пар фрагментов хроник, расстояние между которыми меньше некоторого порогового числа. Такие пары рассматриваются как дубликаты, повествующие об одних и тех же событиях. Итогом компьютерного анализа является составление списка дубликатов. Фактически проводится кластер-анализ фрагментов хроник (см. раздел 6.4).
	Пороговое значение определялось по «обучающей выборке» - набору фрагментов хроник, про которые точно известно, когда они говорят об одних и тех же событиях, а когда - о различных. Например, как пишут Г.В.Носовский и А.Т. Фоменко, обучающую выборку можно сформировать из фрагментов западноевропейских хроник о событиях после 1700 г. Численные эксперименты показали, что значения используемых расстояний для пар дубликатов на несколько порядков меньше значений для независимых фрагментов. Это позволяет надежно выделять дубликаты и в том массиве образов фрагментов хроник, который не входит в обучающую выборку. 
	Дополнительным подтверждением правильности выделения пар дубликатов служит то, что различные методики группы А.Т. Фоменко (использующие различные пространства, образы фрагментов хроник, расстояния) дают одни и те же результаты. С точки зрения общей теории устойчивости [4] это говорит о том, что дубликаты - объективная реальность, они действительно присутствуют в массиве фрагментов хроник, не зависят от субъективизма исследователя. Вот если бы разные методы давали разные множества пар дубликатов, были бы все основания усомниться в их объективном существовании. Выбор метода - в распоряжении исследователя, какой метод выбрал - такой и результат получил.
	Итак, дубликаты выделены. У фрагмента a может быть не один дубликат b, а еще и дубликаты c, d, ... Поскольку совершенно невероятно, чтобы история повторялась, все дубликаты a, b, c, d, ... соответствуют одним и тем же реальным событиям. Основная гипотеза А.Т. Фоменко состоит в том, что эти реальные события соответствуют последнему по времени дубликату. Остальные дубликаты получены сдвигами некоторых из реальных событий последнего по времени дубликата вглубь времен, другими словами, влево по оси времени. После выделения пар дубликатов фрагментов хроник проводится анализ связей между дубликатами и их группами с целью выделения «костяка», из которого путем дублирования получаются все остальные цепочки хроник. 
	Итак, реальные события конкретного фрагмента хроники раздваиваются, растраиваются и т.д., уходя в древность. При этом конкретная личность получает отражения, дубликаты в прошлых веках. Как справлялись с этим затруднением хронисты Скалигер и Пентавиус и многие иные? Блестяще справлялись, с выдумкой.
	Старались не дублировать имена. И это удавалось. У каждого человека и тогда, и даже сейчас - много имен. Например, в детстве человека звали Шуриком, сейчас он для близких - Саша, официальное имя - Александр, коллеги и студенты величают Александром Ивановичем, в официальной обстановке - Профессор Такой-то. Пять имен у него. И это еще не все. Он может быть и Саней, и Аликом, и Старшим Лейтенантом Таким-то. А ведь бывают еще псевдонимы, прозвища. В древности на Руси было личное имя, и было церковное, даваемое при крещении. При вступлении на престол меняли имя. Так что у хронистов был большой выбор для именования лиц-дубликатов.
	Как быть с событиями-дубликатами? Иногда одни события «уезжали» в далекое прошлое, другие оставались на своем месте. Но бывало и так, что одни и те же события описывались несколько раз. Тогда выручали подробности, для каждого дубликата свои. С совершенно неправдоподобной точностью цитируются слова великих греков и римлян по тому или иному поводу, как будто этих лиц постоянно сопровождали стенографистки или они носили с собой звукозаписывающую аппаратуру. Впрочем, не следует подходить к работе старых хронистов со своими современными мерками. Нам важна точность в описании исторических событий. А их, возможно, больше интересовала занимательность и учет интересов заказчика (ведь рукопись надо выгодно продать).
	Перед группой А.Т. Фоменко встала задача восстановления (реконструкции) реальной истории, «сбора» дубликатов воедино. При решении этой задачи полезными оказались не только статистические методы анализа данных, но и астрономические данные, лингвистические соображения, анализ предметов материальной культуры и другие методы, не связанные впрямую с компьютерным анализом фрагментов хроник. 
	Сформулируем два основных научных результата группы А.Т. Фоменко. Они получены путем статистического анализа исторических документов с помощью современных информационных технологий.
	1. Большинство исторических хроник, известных нам в настоящее время, дублируют друг друга. В частности, хроники, описывающие так называемые «Древний Рим» и «Средневековье», говорят об одних и тех же событиях. 
	2. В исторических хрониках, известных нам в настоящее время, рассказывается о реальных событиях, отстоящих от современности не более чем на 1000 лет.
	Составлены списки хроник, рассказывающих об одних и тех же событиях. Выяснено, что хроники, описывающие историю «древних времен» и «средних веков», а также хроники различных государств (европейских, китайских и индийских) рассказывают не о разных, а об одних и тех же событиях. Выявлены так называемые «параллелизмы» в истории - то есть рассказы в разных хрониках об одних и тех же событиях, ошибочно принимаемых сейчас за рассказы о разных событиях. Предпринята попытка новой датировки исторических событий и восстановления информации о подлинной истории человеческого общества на основе новых данных проведенных исследований.
	С точки зрения такой научно-практической дисциплины, как статистические методы, исторические хроники и образы их фрагментов - это частные случаи объектов нечисловой природы. Поэтому разработанные группой А.Т. Фоменко компьютерно-статистические методы (они описаны, например, в [9, с.196-226] и других монографиях тех же авторов) относятся к нечисловой статистике (статистике объектов нечисловой природы), как об этом и было заявлено в нашем обзоре 1990 г. по нечисловой статистике. 
	Основные идеи нечисловой статистики связаны с введением «расстояния» или показателя близости (различия) в соответствующем пространстве объектов нечисловой природы и дальнейшем использовании этого показателя в различных алгоритмах. В работах группы А.Т. Фоменко применяется несколько (по крайней мере, семь) различных методик для введения расстояний. Что самое вдохновляющее - оказалось, что выводы, полученные по разным методикам, согласуются между собой. В соответствии с общей теорией устойчивости в социально-экономических моделях [4] эта согласованность выводов свидетельствует о том, что полученные результаты отражают реальность, а не субъективный выбор модели и метода исследователем.
	Математико-статистические методы, разработанные и использованные группой А.Т. Фоменко, многократно подробно обсуждались в 80-х гг. на семинарах и конференциях по прикладной математической статистике, в том числе с участием автора настоящего учебника. Среди них были и такие представительные, как Международные Вильнюсские конференции по теории вероятностей и математической статистике (1985, 1989). 
	Методы группы А.Т. Фоменко. Рассмотрим некоторые статистические методы анализа хроник, примененные группой А.Т. Фоменко. Поскольку реализовать их на практике можно лишь с помощью современной электронной техники, то их можно назвать компьютерно-статистическими. 
	Метод корреляции максимумов. Любую хронику, например, летопись, можно разбить на последовательные куски, соответствующие отдельным годам. Вполне естественно, что объемы текстов, посвященные тем или иным годам, различаются. В одни годы происходило много событий, «достойных» быть отмеченными в хронике - смена правителя, династический брак, рождение наследника, война, боярский заговор, эпидемия, солнечное затмение и т.п. В другие годы такие события могли вообще отсутствовать, и запись за год оказывалась короткой. В качестве объекта компьютерного анализа будем рассматривать объем текста хроники, приходящийся на тот или иной год.
	Пусть Т - натуральное число, обозначающее номер рассматриваемого года. Отсчет может идти от начала хроники или в какой-либо условной системе отсчета, например, «от сотворения мира», это не влияет на результат расчетов. С формальной точки зрения хронику можно описать функцией V(T) - объемом записей за год T, измеренным, например, количеством использованных символов. Если строки или страницы примерно одинаковы по объему, то объем можно измерять в строках или в страницах. Особенно это удобно, если хроника опубликована. 
	Как те же события будут отражаться в других хрониках? Стоит обсудить, что это за «другие хроники». Это, например, летописи, написанные примерно в то же время, но в других местах и странах. Другой вариант - сводки, составленные позже, вплоть до нынешних учебников. Не исключено, что и рассматриваемая хроника является подобной сводкой, тогда и для нее есть исходный текст или тексты. Как соотносятся функции объема записей V(T) для различных хроник, повествующих об одном и том же? Конечно, они не будут совпадать. В сводке выпадут малозначащие (пол мнению составителя) события, объем записей V(T) уменьшится. Основная гипотеза А.Т. Фоменко формулируется так: от тех лет, которым первоначально было посвящено больше текстов, больше текстов и останется. 
	Каждый местный летописец добавит что-то свое, касающееся его княжества, города или монастыря, и сократит что-то из чужого. Предполагаем, однако, что всплески (локальные максимумы) функции объема записей V(T) останутся примерно на тех же местах. Надо отметить, что при большом внимании летописца к чисто местным проблемам, например, к сбору зерна на полях его монастыря и смене игуменов, целесообразно сначала отредактировать местную хронику, оставив в ней лишь информацию о событиях более широкого масштаба, отраженных и в других хрониках. 
	Надо ввести показатель похожести функций объема записей для двух хроник. Пусть наши данные имеют следующий вид. Рассматриваются две хроники за одно и то же количество лет, для определенности, за k лет. Пусть V1 = (V1(T1), V1(T2), ..., V1(Tk)) - вектор, составленный из объемов записей в первой хронике за эти годы, а V2 = (V2(T1), V2(T2), ... , V2(Tk)) - аналогичный вектор для второй хроники. Вычислим коэффициент корреляции между векторами V1 и V2. Очевидно, он будет близок к 1, если функции объемов записей для двух хроник похожи, и будет заметно меньше 1 в противном случае. Предыдущая фраза - это гипотеза, которая подлежит проверке. 
	Сначала надо уточнить два обстоятельства. Коэффициентов корреляции много. Наиболее известен обычный линейный коэффициент (Пирсона). Также часто рекомендуют использовать непараметрические коэффициенты корреляции Кендалла и Спирмена. Непараметрические коэффициенты нацелены на проверку одинаковой упорядоченности координат векторов. Одинаковая упорядоченность координат этих векторов означает, что если в первой хронике текста за один год содержится больше, чем за другой, то и во второй хронике больше говорится о первом годе, чем о втором. Это именно то, что мы предполагаем. Поэтому для проверки коррелированности функций объемов записей больше подходят непараметрические коэффициенты корреляции, чем обычный линейный коэффициент корреляции (см. раздел 6.1).
	Второе обстоятельство связано с тем, что никакой вероятностной модели здесь нет. Мы отнюдь не утверждаем, что независимые хроники (относящиеся к различным временам и странам) независимы в статистическом смысле. Методы математической статистики, основанные на теории вероятностей, здесь применять нецелесообразно. Метод корреляции максимумов А.Т. Фоменко относится к т.н. анализу данных - разделу прикладной статистики, не опирающемуся на вероятностные модели. 
	Этот метод основан на обширном компьютерном эксперименте. Коэффициенты корреляции вычислялись для различных пар хроник (одинаковой длины) - заведомо зависимых и заведомо независимых (не только для хронологии Скалигера, но и с точки зрения группы А.Т. Фоменко), а также тех, о которых не было априорного мнения. 
	Результаты компьютерного вычислительного эксперимента замечательны. Произошло превосходное разделение. Все коэффициенты корреляции для заведомо зависимых пар сосредоточились в окрестности единицы. Все коэффициенты корреляции для заведомо независимых пар легли значительно левее. Посередине - пусто. Никакого перемешивания! 
	Весьма интересны результаты для тех пар, о которых не было априорного мнения. Некоторое количество из них оказалось среди заведомо зависимых пар, коэффициенты корреляции для них весьма близки к 1. Это и есть искомые дубликаты. С точки зрения хронологии Скалигера эти хроники никак не связаны, они повествуют о событиях, которые произошли в разных странах и в разные годы. Но формальный анализ показывает их поразительную похожесть. Значит, в них разными словами говорится об одном и том же. 
	Как ясно из сказанного выше, сравнивались не хроники целиком, а куски хроник длиной k лет. Какое k брать? При малых k (до нескольких десятков) нельзя ожидать такой четкой картины разделения зависимых и независимых пар, которая описана только что. Поэтому целесообразно брать k возможно большим. Тогда и дубликаты получаются длинными, их легче интерпретировать. Однако чем больше k, тем меньше хроник такой длины можно найти. Расчеты группой А.Т. Фоменко проводились при разных k, но наиболее перспективным оказался интервал около k = 150 (лет). Группа А.Т. Фоменко использовала несколько иной коэффициент близости функций объема текстов по годам, чем описанный выше. Их коэффициент определен, например, в [9, с.199]. 
	Несмотря на сравнительную простоту идеи, реализовать ее можно было лишь на основе интенсивного использования современных компьютеров. Ни И. Ньютон, ни Н.А. Морозов никогда не смогли бы провести нужного объема вычислений. Добавим, что компьютерно-статистические методы далеко не исчерпали своих возможностей при анализе нарративной (то есть повествовательной) исторической информации - хроник. Так, в рассматриваемом методе напрашивается проведение целой серии дополнительных расчетов, связанных с использованием того или иного коэффициента корреляции или похожести функций объема годовых записей. Не ясно, дадут ли эти расчеты новые результаты в компьютерно-статистической хронологии, но бесспорно, что они дадут новые аргументы в ее поддержку и позволят отработать новые инструменты анализа исторической информации.
	Метод династий. Этот метод разработан еще Н.А. Морозовым. Его суть в выделении «династии» - последовательности следующих друг за другом k правителей, k порядка 15, и рассмотрении k-мерного вектора длительностей их правления. Если для двух династий эти вектора совпадают - имеем идеальный дубликат. 
	Ситуация осложняется тем, что организация властных структур всегда страдала некоторой хаотичностью. Часто власть делилась между соправителями. Кроме того, следует различать формальное царствование и реальное. Царем могли провозгласить младенца, а до его совершеннолетия в таком случае действовал реальный правитель (регент), не имеющий династических прав и не претендующий на формальное признание. Кроме того, коронация, как правило, отстоит от реального взятия власти.
	Свою лепту в искажение исторических текстов мог внести и летописец. Он мог перепутать следующих друг за другом правителей, особенно при их кратком пребывании у власти. Он мог сдвинуть годы правления, учитывая или не учитывая период борьбы за власть (между реальными соправителями), время регентства, отсчитывая правление от взятия власти или от коронации, в паре «отец-сын» беря правление сына от реальной передачи власти или от смерти отца, и т.д. 
	В результате одна реальная династия могла отразиться в хрониках разными способами. Вместо одного вектора в k-мерном пространстве получаем «облачко» таких векторов. В этом «облачке» - все возможные описания данной династии, как реально существующие в исторических документах, так и те, что могли бы возникнуть. Если за конкретный вектор как описание династии можно критиковать исследователя - дескать, в такой-то хронике она описана по-другому, то в «облачке» это другое описание, скорее всего, уже содержится. Именно «облачко» - адекватное описание реальной династии в математических терминах. 
	Очевидно, если «облачка», построенные по считающимся в хронологии Скалигера независимым данным, пересекаются, то династии, скорее всего, являются дубликатами. Если «облачка» далеки друг от друга, они не могут быть дубликатами. 
	Дальнейшее статистику очевидно - надо ввести расстояние между «облачками», уточнить термины предыдущего абзаца «пересекаются» и «далеко», а затем провести компьютерный эксперимент, вычисляя расстояния между парами династий. 
	С точки зрения статистика задача напоминает кластер-анализ. Требуется определить расстояние между кластерами - «облачками» в многомерном пространстве. Есть целый ряд методов. Согласно методу ближайшего соседа в качестве расстояния берется минимальное из расстояний между двумя точками, одна из которых лежит в первом кластере, а другая - во втором. Согласно этому методу расстояние от династии до нее самой равно 0. В методе дальнего соседа, наоборот, в качестве расстояния берется максимальное из расстояний между двумя точками, одна из которых лежит в первом кластере, а другая - во втором. Согласно этому методу расстояние от династии до нее самой равно диаметру «облачка». В методе средней связи в качестве расстояния берется среднее из расстояний между двумя точками, одна из которых лежит в первом кластере, а другая - во втором. Поскольку средних величин бесконечно много, то можно рассматривать разные алгоритмы вычисления расстояния, основанные на среднем арифметическом, среднем геометрическом, медиане и т.д. Сам А.Т. Фоменко предложил и использовал несколько иной метод. Так что существует большое поле для экспериментов с «облачками»-династиями. 
	Каков же результат компьютерных экспериментов А.Т. Фоменко? Как и следовало ожидать, он напоминает результат применения метода корреляции максимумов. Явно зависимые династии оказались близкими, явно независимые династии - далекими. Но обнаружились пары династий-дубликатов. Эти династии в хронологии Скалигера считались никак не связанными, далекими друг от друга в пространстве и во времени, но они оказались весьма близкими в терминах того расстояния, что использовалось в эксперименте. Все расстояния между «облачками» разделились на две группы, по величине различающиеся на несколько порядков: близкие к 0 расстояния между зависимыми династиями и дубликатами и достаточно большие расстояния между независимыми династиями. В промежутке - пустота.
	Метод затухания частот. Согласно нему при правильном хронологическом порядке фрагментов частота употребления имен персонажей данного поколения должна в среднем уменьшаться, «затухать» при переходе к описанию все более отдаленных от него во времени персонажей. Таким образом, метод датировки опирается на использование имен исторических персонажей.
	Из сформулированного принципа вытекает, что целесообразно ввести понятие «глава-поколение» - фрагмент хроники, описывающий события приблизительно одного поколения. Рассмотрим группу имен, впервые появившихся в рассматриваемой «главе-поколении». Обязательное условие - раньше они никогда не появлялись, но встречаются в «главе-поколении», соответствующей моменту Т(0). Очевидно, некоторые из них будут встречаться и дальше, летописцы будут ссылаться на царей и героев предыдущих эпох, но все реже и реже. Если построить график частоты их встречаемости как функции времени, то левее точки Т(0) частота равна 0 (по определению), максимума она достигает в момент Т(0) (в те два-три десятилетия, что соответствуют интересующему нас поколению), а потом монотонно убывает. 
	Если же монотонность нарушается, «старая» группа имен дает заметный всплеск, то есть мы имеем дело с «возрождением» - в данном случае «возрождением» множества имен исторических лиц. Обнаружен дубликат, повторное описание тех же событий. Обычно реальные события оказываются частично отнесенными в прошлое, тк что термин «возрождение» не является адекватным. Метод, основанный на затухании частот, позволяет также датировать фрагмент текста, оптимизируя на компьютере возможное место для данного фрагмента так, чтобы функции встречаемости как можно меньше отличались от идеальных. 
	При более тщательном анализе используется понятие «возраст имени» - число глав-поколений с момента первого появления такого же имени в тексте. Оказалось, что имена можно разделить на два класса - «вечные» (около 1/4 имен) и «обычные». В соответствии с принципом затухания частот возраст «обычных» имен сохраняет приблизительно постоянное значение (со случайным разбросом вокруг него). Возраст же «вечных» имен постоянно растет со временем (по линейному закону). Следовательно, средний возраст имен естественно описывать линейной регрессией. Дубликат будет выражаться резким поднятием части графика на одну и ту же величину. Как выражается А.Т. Фоменко, возникает характерная «полка», высота которой соответствует расстоянию между дубликатами. Обнаружить такие «полки» можно чисто формально, как отклонения графика от линейной зависимости. Для этого используют алгоритмы обнаружения разладки, те же, что и для обнаружения разладки технологического процесса в рамках статистических методов управления качеством продукции (раздел 10.5).
	Рассматриваемый сюжет широко развернут в публикациях группы А.Т. Фоменко. В частности, разработаны методы анализа матриц связей для хронологических списков имен, которые требуют обширных вычислений на современных компьютерах (сложность вычисления пропорциональна квадрату длины списка).
	Метод анкет-кодов. Анкет-кодом А.Т. Фоменко называет формализованную биографию упомянутого в хронике деятеля. Точнее говоря, речь идет об «исторической литературной биографии», которая может не совпадать с реальной биографией (о которой мы ничего не знаем). Анкет-код состоит из 34 пунктов, ответ на каждый из них, как правило, формализован и состоит в выборе одного из нескольких вариантов ответов. 
	Приведем начало анкет-кода.
	1. Пол.
	2. Длительность жизни.
	3. Длительность правления. Конец правления практически всегда однозначно зафиксирован, начало правления допускает иногда несколько вариантов, которые отмечаются как равноправные.
	4. Социальное положение и занимаемый пост (код а - царь, император, король, великий князь, то есть самостоятельный правитель; код б - полководец; политик, общественный деятель; код в - ученый, писатель, актер, философ и т.д.; код г - религиозный вождь, патриарх, папа, епископ и т.д.).
	5. Смерть правителя (а - естественная (то есть не насильственная) смерть в мирной обстановке; б - убит на поле боя противниками или смертельно ранен; в - убит в результате заговора, вне войны; г - убит в результате заговора во время войны; д - специальные, экзотические обстоятельства смерти).
	6. Стихийные бедствия во время правления (а - голод; б - наводнения; в - повальные болезни; г - землетрясения; д - извержения вулканов; при этом отмечаются также длительность бедствий и год или годы правления, когда они имели место).
	7. Астрономические явления во время правления (а - есть; б - нет; если есть, то какие именно: в - затмения, г - кометы; д - «вспышки звезд»).
	8. Войны во время правления (а - есть; б - нет).
	9. Число войн.
	И еще 25 пунктов анкеты, которая напоминает анкеты социолога при массовом опросе, маркетолога при изучении предпочтений потребителя, формализованную историю болезни, используемую в научных медицинских исследованиях, и т.п.
	Не надо думать, что этих данных слишком мало для идентификации личности. Напомним, что в многомиллионной Москве для идентификации жителя (с указанием его домашнего адреса и телефона) вполне достаточно всего лишь фамилии, имени, отчества (хотя многие из них широко распространены), года и места рождения.
	Анкет-коды правителей при объединении дают анкет-код династии. Для нахождения дубликатов А.Т. Фоменко разработал методику, основанная на принципе «малых искажений». В соответствии с ней, если анкет-коды двух династий «мало отличаются» друг от друга, то они изображают одну и ту же реальную династию. Если же два анкет-кода изображают разные династии, то анкет-коды «далеки» друг от друга.
	С точки зрения специалиста по статистике объектов нечисловой природы, анкет-код - это вектор с разнотипными признаками. В пространствах подобных векторов можно разными способами ввести расстояния или показатели различия, позволяющие формализовать понятия «мало отличаются» и «далеки». 
	Восстановление подлинной истории. Мы разобрали ряд (меньше половины) компьютерных методов поисков дубликатов, использованных группой А.Т. Фоменко. Самое интересное начинается тогда, когда дубликаты уже выявлены. Процесс их сопоставления вряд ли можно формализовать, но он очень интересен. Обычно обнаруживаются сходные события и персонажи, «уехавшие» из основного периода в дубликаты. Поколения историков постарались наполнить колоритными подробностями сухие строки хроник, и теперь приходится очищать события от этой шелухи. В работах группы А.Т. Фоменко в ход идут самые разные соображения. И астрономические, использованные еще И. Ньютоном и Н.А. Морозовым. И лингвистические. И связанные с анализом остатков древней материальной культуры (например, старинного оружия). Весьма полезными оказываются древние географические карты и предметы искусства прежних веков (прежде всего картины).
	В результате удается во многом восстановить истинную картину исторических событий. Этому и посвящены значительные разделы книг группы А.Т. Фоменко 1990-х и 2000-х гг. О компьютерных методах обнаружения дубликатов, интересных в основном специалистам, в этих монографиях говорится сравнительно мало, но вполне достаточно для понимания сути дела. Первый этап восстановления истинной хронологии - выявление дубликатов - по существу закончен. Чего нельзя сказать о втором - выявлении истинной всемирно-исторической картины. 
	Сложности касаются последней тысячи лет. Про предыдущее всё ясно - у нас нет никаких письменных сведений о событиях ранее IX в.н.э. А вот потом письменные свидетельства сочетаются с наличием хронологических сдвигов. Какие-то события сдвинуты в хрониках на 300 лет вниз, какие-то, возможно, наоборот, приближены к нам. 
	При анализе исторических хроник приходится сталкиваться с различными сложностями. В качестве примера кратко обсудим легенду о «призвании варягов». Сколько написано об этом! Одни выясняли, откуда варяги родом - из Швеции или из Пруссии, другие утверждали, что сама мысль о призвании иноземцев унижает Россию. И до сих пор идут дискуссии. И только А.Т. Фоменко посмотрел на исходную рукопись. Выяснилось, что лист про призвание варягов вклеен. Подделка. Как, видимо, и вся Радзивиловская рукопись. Интересно также, что многие факты, вообще говоря, известны историкам, но они молчали. Был разработан даже специальный «Эзопов» язык. Например, что значит фраза: «список второй половины XVII в. летописи XII в.»? Значит, текст написан во второй половине XVII в. Что в нем от летописи XII в. - неизвестно. Зная про события тех времен, например, про «исправление богослужебных книг», можно с полным основанием предположить, что и древняя летопись была исправлена. Нельзя думать, что переписчики копировали «буква в букву». Даже сейчас редакторы газет, журналов и книг считают возможным делать с текстом практически беззащитного автора все, что им угодно. Например, публиковать только вставной сюжет, отбросив основное содержание. Так, в книгах известного популяризатора науки Я.И. Перельмана часто встречаешь сюжеты, которые он физически не мог написать, поскольку в его время (он умер в блокадном Ленинграде) не было соответствующих реалий, например, он не мог знать названий и характеристик советских космических кораблей. Кто-то написал и вставил соответствующие разделы. Кто - неизвестно. Если так поступают сейчас, то можно представить себе, что творилось несколько веков назад...
	Компьютерно-статистическая хронология. Теория группы академика А.Т. Фоменко - новая компьютерно-статистическая хронология мировой истории - подлинный триумф современных статистических методов и информационных технологий. С помощью компьютеров, позволяющих за несколько часов провести такое количество вычислений, на которое ранее ушли бы годы труда десятков, а то и сотен людей, появилась возможность разработать объективные, строго научные методы исследования столь, казалось бы, далеких от точных наук данных, как исторические хроники. Появилась возможность выявлять не только ошибочно датированные, но и сфальсифицированные исторические тексты, восстанавливать их истинную датировку, выявлять, какую эпоху они описывают. В целом можно сказать, что новые методики исследования текстовой информации, разработанные группой академика А.Т. Фоменко, позволяют проводить анализ текстов вне зависимости от субъективного восприятия их исследователем, то есть использовать строго научный подход в этой области.
	Новая хронология позволяет понять многое в борьбе идей в современном научном и массовом сознании. 
	Во-первых, становится ясной глубинная причина настороженного отношения Запада к России. Это - устойчивая реакция на его многовековое вассальное положение по отношению к Руси. Не сумев победить в открытой борьбе, он добился реванша «дипломатическими» методами, посеяв смуту в высшем руководстве Русского царства и выдвинув на первое место своих ставленников.  
	Во-вторых, искусственное удлинение западной истории создает чувство неполноценности у граждан «молодой» России. На это же направлено и искусственное введение веков «татаро-монгольского ига» в нашу историю. Цель - заставить нас смотреть снизу вверх на Запад с его якобы всегда более высокой культурой, продвинутой наукой, богатой историей, эффективной промышленностью и т.д.
	Века прозападной пропаганды дали результат. Российские потребители с гораздо большим энтузиазмом покупают западные товары, чем отечественные. Распространенный эксперимент - поменять упаковки, скажем, российских и французских духов. По мнению большинства покупателей, товар во французской упаковке всегда лучше, независимо от того, что в ней содержится.  
	Значение результатов группы А.Т. Фоменко не ограничивается историей. При преподавании экономических дисциплин совершенно необходимо использовать современные достижения исторической науки - новую компьютерно-статистическую хронологию, построенную на основе интенсивного применения статистических методов. Она проливает новый свет не только на экономическую историю, но и на борьбу идей в современном научном и массовом сознании. Становятся яснее причины отличия России от стран Запада и необходимость разработки экономической теории, адекватной российской социальной психологии и экономической практике.
	Работы по новой хронологии лишний раз доказывают, что с развитием статистических методов и информационных технологий перед человечеством открылись новые, грандиозные возможности.  

8.6. Вероятностно-статистическое моделирование помех, 
создаваемых электровозами

	Движение электровозов создает помехи, влияющие на проводные линии связи. Создание достаточно эффективных и в то же время экономичных средств защиты проводных линий связи от мешающих влияний, создаваемых тяговыми сетями переменного тока, предполагает в качестве подготовительного этапа разработку математических моделей помех, создаваемых электровозами.
	Как показано в [9, с.59], m-ю гармонику (m > 7) создаваемой электровозом помехи можно описать двумерным случайным вектором 
,		(8.18)
где r – амплитуда и  - фаза помехи, причем r и  независимы (как случайные величины), распределение  равномерно на . Как нетрудно подсчитать, 
.  (8.19)
	В случае n электровозов рассматриваемая гармоника суммарной помехи описывается вектором , причем из физических соображений
.		(8.20)
Каждый вектор в правой части (8.20) соответствует электровозу с тем же номером. Будем считать, что случайные величины  независимы в совокупности, а все фазы  распределены равномерно на . Из (8.19) и (8.20) вытекает, что 
,		(8.21)
если все слагаемые в правой части (8.21) существуют. Последнее будем считать выполненным. Правую часть (8.21) обозначим .
	Из многомерной центральной предельной теоремы (см. приложение 1 к первой части данного учебника) вытекает следующее утверждение. 
	Лемма 8.1. Пусть выполнены условия теоремы Линдеберга-Феллера, в данном случае
.		(8.22)
Тогда для любых чисел x, y
,		(8.23)
где  - функция нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1.
	Нам понадобится следующее утверждение.
	Лемма 8.2. Пусть  и  - независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение . Пусть выполнены условия леммы 1. Пусть функция  интегрируема по Риману по любому квадрату. Тогда
	(8.24)
при всех u, при которых правая часть (8.24) непрерывна по u.
	Доказательство вытекает из леммы 8.1 и результатов о наследовании сходимости (см. приложение 1 к первой части данного учебника).
	В методиках расчетов, связанных с защитой проводных линий связи, используется математическое ожидание амплитуды суммарной помехи . Следовательно, надо рассмотреть функцию
.
Из леммы 8.2 следует, что распределение нормированной амплитуды суммарной помехи

сходится к распределению случайной величины
.
	Случайная величина , как известно (см., например, [11, с.262]), имеет плотность 
.		(8.25)
Следовательно,
.
	При проектировании защиты проводных линий связи нормативные ограничения накладываются на математическое ожидание суммарной помехи. Поэтому для практического применения полезны следующие результаты.
	Теорема 8.5. Пусть предельные соотношения (8.22), (8.23) имеют место и, кроме того,
.		(8.26)
Тогда
.
	Следствие. Для математического ожидания  амплитуды суммарной помехи имеет место предельное соотношение
.
	Отметим, что соотношения (8.22) и (8.26) выполнены, например, в случае, когда существуют числа 0 < r < R такие, что r < rin < R при всех n, i = 1, 2, …, n, т.е. амплитуды электровозов ограничены сверху и снизу. Это условие является весьма естественным с прикладной точки зрения. 
	Доказательство теоремы 8.5. При любом a > 0 справедливо равенство
.	(8.27)
	Каждую из скобок в представлении (8.27) будем обрабатывать своим способом. Поскольку
,		(8.28)
то подставляя в (8.28) вместо F(x) соответственно  и , заключаем с помощью леммы 8.2, что при фиксированном значении a первая скобка в (8.27) стремится к 0 при росте n. 
	Вторую скобку оценим следующим образом:
.	(8.29)
Из явного вида функции h(x) (см. (8.25)) следует, что второе слагаемое в (8.29) стремится к 0 при росте n. Для оценки первого слагаемого в (8.29) воспользуемся соотношением 
,
в котором положим F(x) = . Оценим сначала порядок убывания по x величины 
.
	С помощью несложных, но достаточно продолжительных вычислений можно найти  и на основе неравенства (8.26) доказать, что существует константа C такая, что при всех n
.
Воспользовавшись неравенством Чебышева: 

для любой случайной величины  и любого положительного числа b, заключаем, что
.
Следовательно, 
.	(8.30)
	Из соотношений (8.29), (8.25) и (8.30) следует, что первое слагаемое в правой части равенства (8.27) при фиксированном a стремится к 0 при росте n, в то время как вторая скобка стремится к 0 при росте a равномерно по n. Для завершения доказательства теоремы 8.5 по фиксированному  > 0 найдем число a такое, что при всех n вторая скобка меньше /2, а затем по этому a найдем n0 такое, что при n > n0 первая скобка также меньше /2. Тогда  при n > n0. Теорема 8.5 доказана. 
	Рассмотрим важный частный случай. Пусть амплитуды всех электровозов детерминированы, одинаковы и равны 1, т.е. ri = 1, i = 1, 2, …, n. Тогда по следствию из теоремы 8.5 математическое ожидание амплитуды суммарной помехи приблизительно равно 0,886, в то время как формула (44) на с. 60 электротехнической работы [10] дает . Таким образом, согласно развитой выше теории значение амплитуды суммарной помехи на 11,4% меньше, чем согласно мнению специалистов в этой области.
	Чем же объясняется различие в 11,4%? Дело в том, что «закон сложения высших гармоник в тяговой сети при двух электровозах в зоне питания» (формула (42) на с. 60 работы [10]) является приближенным и выполняется с точностью порядка 1% (там же, с.59). Можно было бы ожидать, что при рассмотрении n электровозов, а не двух, ошибка будет порядка 0,01n, однако в силу того, что рассматриваемый «закон» выполняется тем точнее, чем больше различаются амплитуды слагаемых, ошибка имеет порядок лишь 0,114, что при больших n существенно меньше, чем 0,01n.
	Итак, формула (44) в работе [10] завышает среднюю амплитуду суммарной помехи в 1/0,886  1,13 раза, что приводит к соответствующему увеличению средств, которые необходимо выделять на защиту проводных линий связи. Следовательно, внедрение развитой в настоящем разделе теории позволяет сэкономить достаточно большие материальные и финансовые ресурсы.
	Однако приведенные выше результаты - предельные, ими можно пользоваться при «достаточно большом» числе электровозов n. Для практики же наиболее интересны значения n в пределах от 2 до 10. Возникает вопрос о скорости сходимости в леммах 8.1 – 8.2 и особенно в теореме 8.5. 
	Пусть сначала n = 2. Нетрудно показать, что в случае детерминированных амплитуд r1 и r2
,		(8.31)
где , фаза  - равномерно распределенная на  случайная величина, а 
.
	Легко видеть, что при  = 1 (т.е. при r1 = r2) математическое ожидание в правой части (8.31) равно 0,897. При  < 1 соответствующий определенный интеграл приводится к эллиптическому интегралу и в явном виде не берется. Приведем разложение в ряд по степеням параметра :

	Вычисленное при n = 2 значение 0,897 весьма близко к предельному (при ) значению 0,886. Поэтому можно ожидать быстрой сходимости, по крайней мере при малоразличающихся значениях амплитуд.
	Обсудим применение теоретических методов изучения скорости сходимости. Асимптотическое разложение характеристической функции случайного вектора  начинается с члена порядка n-1 (в силу того, что третьи моменты координат вектора равны 0 согласно (8.19)). Путем обращения этого разложения можно найти асимптотическое разложение для плотности (аналог разложения Эджворта), которое также начинается с члена порядка n-1. Последний шаг – подобно доказательству теоремы 8.5 может быть сделан переход к интересующий нас разности 
.		(8.32)
	Обосновать описанную цепочку утверждений, приводящую к (8.32), и получить численные оценки скорости сходимости можно, оценивая остаточные члены во всех описанных выше преобразованиях. К сожалению, не удалось обнаружить публикаций, в которых имелись бы нужные оценки. Это объясняется тем, что рассматриваемая ситуация является весьма частной с точки зрения общей теории. Мы не стали строить микротеорию для обоснования правдоподобных рассуждений, приведших к (8.32), поскольку нас интересует точность приближения предельным распределением при 2 < n < 10, а, как показывает опыт анализа распределения двухвыборочной односторонней статистики Н.В.Смирнова (разд. 8.2, подраздел «Точные формулы и асимптотика»), константы, которые можно таким путем получить для уточнения соотношения (8.32), сильно завышены. Поэтому обратились к численным методам, а именно, к вычислительному эксперименту методом статистических испытаний (Монте-Карло), т.е. с использованием датчика псевдослучайных чисел. Использовался алгоритм перемешивания Макларена-Марсальи (М-алгоритм). 
	В табл. 8.12 приведены значения оценок величины 
		(8.33)
для пяти наборов амплитуд [4].

Таблица 8.12
Оценка скорости сходимости в теореме 8.5 методом Монте-Карло
№ экс-пери-
мента	Число электровозов n	
	1	2	3	4	5	
1	1
-	1
0,009	1
0,018	1
0,010	1
0,013	
2	0,40
-	0,41
0,016	0,72
0,029	0,64
0,021	1,18
0,022	
3	0,40
-	0,40
0,010	0,41
0,022	0,86
0,030	0,80
0,016	
4	0,40
-	0,53
0,031	2,52
0,095	0,72
0,077	0,85
0,067	
5	0,40
-	0,41
0,014	0,85
0,041	0,56
0,017	0,82
0,017	

Продолжение таблицы 8.12.
№ экс-пери-
мента	Число электровозов n	
	6	7	8	9	10	
1	1
0,013	1
0,001	1
0,001	1
0,010	1
0,010	
2	0,66
0,022	1,60
0,025	1,70
0,018	0,87
0,008	2,60
0,007	
3	0,86
0,012	0,85
0,009	0,90
0,007	2,97
0,040	0,72
0,035	
4	3,00
0,025	0,65
0,029	1,46
0,017	0,63
0,023	0,84
0,022	
5	0,58
0,007	1,63
0,025	1,64
0,011	0,87
0,009	1,00
0,012	
	Примечание. Для каждого из пяти экспериментов верхняя строка – значения амплитуд, нижняя – значения  из (8.33), оцененные по 10 000 испытаниям. В каждом наборе из 10 амплитуд сначала моделируется ситуация с первыми двумя амплитудами, потом – с первыми тремя, затем – с первыми четырьмя, и т.д.

	Математические ожидания в (8.33) оценивались как средние арифметические 10000 наблюдений случайной величины . Дисперсия результата одного испытания согласно лемме 8.2, аналогу теоремы 8.5 для вторых моментов и соотношению (8.25) оценивается как , а потому среднеквадратическое отклонение табличных значений оценивается как 0,0015 (в предположении идеальности датчика псевдослучайных чисел). 
	Данные табл. 8.12 показывают, что наиболее быстрая сходимость в теореме 8.5 имеет место в случае равенства амплитуд. Напротив, если значение одной из амплитуд безгранично возрастает, а значения остальных фиксированы, то . С целью изучения сходимости в случае различных амплитуд были взяты четыре независимые выборки значений амплитуд из распределения, заданного гистограммой для 9-й гармоники на рис.17 в монографии Р.Н. Карякина [10, с.40]. Объемы выборок – 10 наблюдений. Выборки приведены в табл.8.12. В каждом случае рассчитаны оценки  для первых m элементов выборки, m = 2, 3, …, 10. Таким образом, табличные значения одной строки зависимы между собой, но строки независимы. Программирование и расчеты осуществлены С.Ю. Адамовым. 
	Из табл. 8.12 видно, что существенные различия между амплитудами приводят к возрастанию , однако при росте числа электровозов n это возрастание становится все менее существенным. Так, для n > 6 максимальное табличное значение равно 0,040, т.е. при n > 6 имеем основания полагать, что
		(8.34)
для подавляющего большинства реальных ситуаций. Замена 1 на 0,926 в методиках защиты проводных линий связи сулит значительный экономический эффект. Кроме (8.34), данные табл. 8.12 позволяют дать ряд других полезных практических рекомендаций. 
	Замечание. Предположение о равномерности распределения фазы  использовалось выше лишь при выводе соотношений (8.19) и (8.31). Поэтому все результаты настоящего раздела, кроме (8.31), справедливы для любых распределений фаз, удовлетворяющих соотношениям (8.19). В частности, для различных электровозов распределения могут быть различными. 

Литература

1. Неуймин Я.Г. Модели в науке и технике. История, теория, практика. - Л.: Наука, 1984. - 190 с.
2. Нейлор Т. Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем. - М.: Мир, 1975. - 500 с.
3. Орлов А.И. Теория принятия решений. – М.: Экзамен, 2006. – 576 с.
4. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М.: Наука, 1979. - 296 с.
5. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. - М.: Наука, 1981. - 488 с.
6. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. - М.: Наука, 1984. – 392 с.
7. Методика. Проверка однородности двух выборок параметров продукции при оценке ее технического уровня и качества / Орлов А.И. и др. - М.: Всесоюзный научно-исследовательский институт стандартизации Госстандарта СССР, 1987. - 116 с.
8. Левин Б.Р., Демидович Н.О. Использование непараметрических методов при обработке результатов испытаний на надежность. // Надежность средств связи. - Киев: Технiка, 1976. - С.59-72.
9. Носовский Г.В., Фоменко А.Т. Введение в новую хронологию (Какой сейчас век?) - М.: КРАФТ+ЛЕАН, 1999. - 768 с.
10. Карякин Р.Н. Резонанс в тяговых сетях и его демпфирование. – М.: Высшая школа, 1961. – 231 с.
11. Крамер Г. Математические методы статистики (2-е изд.). – М.: Мир, 1975. – 648 с.

Контрольные вопросы и задачи 
 
1. Назовите основные виды переменных, используемых в математических моделях.
2. Какие виды математических моделей обычно выделяют?
3. Почему необходимо изучать устойчивость выводов, полученных на основе математических моделей, по отношению к допустимым отклонениям исходных данных и предпосылок моделей?
4. В чем состоит основная идея принципа уравнивания погрешностей?
5. Почему среднюю ожидаемую продолжительность предстоящей жизни считают наиболее адекватной характеристикой здоровья и уровня жизни населения?
6. Какие выводы о возможном изменении численности населения России в течение ближайших 50 лет можно сделать на основе рассмотренных в разделе 8.3 демографических моделей?
7. На складе хранится некоторая продукция, пользующаяся равномерным спросом. За 1 день со склада извлекается 0,5 т продукции, плата за хранение 1 т продукции в день – 2 тыс. руб.,  плата за доставку одной партии – 50 тыс. руб. Планирование производится на 21 день. На сколько процентов затраты в плане Вильсона (объем партии определяется по формуле квадратного корня) превышают затраты в оптимальном плане? 
8. Оцените увеличение затрат в плане Вильсона (объем партии определяется по формуле квадратного корня) по сравнению с оптимальным планом за целое число периодов, если размер партии отличается от оптимального не более чем на 5%.
9. Каким образом концепция асимптотически оптимального плана позволяет решить проблему горизонта планирования?
10. В чем состоит основной вклад математики при разработке модели планирования оптимальных размеров поставок и начального запаса?
11. В чем состоит основная идея компьютерно-статистического подхода к построению хронологии?
12. В каком случае два исторических периода считают «дубликатами»?
13. Какие методики обнаружения «дубликатов» Вы знаете?
14. Расскажите о вероятностно-статистической модели, предназначенной для изучения помех, создаваемых электровозами.

Темы докладов, рефератов, исследовательских работ

1. Классификация математических моделей.
2. Математическое моделирование и «математическая экономика».
3. «Точки роста» в теории и практике математического моделирования.
4. Роль нечисловых переменных в современных математических моделях принятия решений. 
5. Проблема устойчивости в математическом моделировании. 
6. Теория измерений и концепция устойчивости.
7. Принцип уравнивания погрешностей в статистике интервальных данных.
8. Принцип уравнивания погрешностей в логистике (управлении запасами). 
9. Средние величины для основных характеристик (смертности, рождаемости, продолжительности жизни) в демографических моделях.
10. Экономико-математическое моделирование работы промышленного предприятия.
11. Применение теории массового обслуживания при моделирования работы организаций сферы массовых услуг (телефонных сетей, магазинов и др.).
12. Специфика решения задачи оптимизации при анализе классической модели работы склада.
13. В каком смысле оптимальна двухуровневая модель управления запасами?
14. Современная логистика в системе организационно-экономических методов управления организацией. 
15. Реконструкция исторических событий в соответствии с компьютерно-статистической хронологией.
16. Методологическое значение компьютерно-статистической хронологии.
17. Статистическое моделирование с использованием датчиков псевдослучайных чисел (метод Монте-Карло).
18. Методы проверки качества датчиков псевдослучайных чисел.